Cho biểu thức: \(P=\left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{x-1} \right):\left[

Câu hỏi số 218476:

Vận dụng

Cho biểu thức: \(P=\left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{x-1} \right):\left[ \frac{2}{x}-\frac{2-x}{x\left( \sqrt{x}+1 \right)} \right].\)

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P.

b) Tính giá trị của P khi \(x=\frac{19}{2\sqrt{5}-1}-\sqrt{29-12\sqrt{5}}.\)

c) Tìm các giá trị của x để \(P>4.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:218476

Phương pháp giải

Phương pháp:

Câu a: Tìm ĐKXĐ cần đặt các điều kiện sau: \(\frac{a}{f\left( x \right)}:\,\,\,f\left( x \right)\ne 0;\,\,\,\,\sqrt{f\left( x \right)}:\,\,\,f\left( x \right)\ge 0;\,\,\,\,\frac{b}{\sqrt{f\left( x \right)}}:\,\,f\left( x \right)>0.\)

Câu b: Xét xem giá trị x đề bài cho có thỏa mãn ĐKXĐ hay không.

+) Nếu giá trị x đó thỏa mãn, biến đổi đơn giản x sau đó thay giá trị x đó vào biểu thức P vừa rút gọn để tính giá trị của biểu thức P.

Câu c: Thay biểu thức P vừa rút gọn được và giải bất phương trình.

+) Ta có: \(\frac{A}{B} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}A > 0\\B > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}A < 0\\B < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\) và \(\frac{A}{B} < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}A > 0\\B < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}A < 0\\B > 0\end{array} \right.\end{array} \right..\)

Giải chi tiết

Giải:

a) ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\sqrt x - 1 \ne 0\\x - 1 \ne 0\\x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 1\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}} \right):\left[ {\frac{2}{x} - \frac{{2 - x}}{{x\left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right]\\\,\,\,\, = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right):\frac{{2\left( {\sqrt x + 1} \right) - \left( {2 - x} \right)}}{{x\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}:\frac{{2\sqrt x + 2 - 2 + x}}{{x\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{x + \sqrt x + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\frac{{x\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{x + 2\sqrt x }}\\\,\,\,\, = \frac{{x + 2\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}.\frac{x}{{x + 2\sqrt x }} = \frac{x}{{\sqrt x - 1}}.\end{array}\)

b) ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{align} & x>0 \\ & x\ne 1 \\ \end{align} \right..\)

\(\begin{align} & x=\frac{19}{2\sqrt{5}-1}-\sqrt{29-12\sqrt{5}}=\frac{19\left( 2\sqrt{5}+1 \right)}{\left( 2\sqrt{5}-1 \right)\left( 2\sqrt{5}+1 \right)}-\sqrt{20-2.2\sqrt{5}.3+9} \\ & \,\,\,\,=\frac{19\left( 2\sqrt{5}+1 \right)}{{{\left( 2\sqrt{5} \right)}^{2}}-1}-\sqrt{{{\left( 2\sqrt{5}-3 \right)}^{2}}}=\frac{19\left( 2\sqrt{5}+1 \right)}{19}-\left| 2\sqrt{5}-3 \right| \\ & \,\,\,\,=2\sqrt{5}+1-\left( 2\sqrt{5}-3 \right)\,\,\,\,\,\,\left( do\,\,\,2\sqrt{5}>3 \right) \\ & \,\,\,\,=2\sqrt{5}+1-2\sqrt{5}+3=4. \\ \end{align}\)

Ta thấy \(x=4\) thỏa mãn ĐKXĐ. Thay \(x=4\) vào biểu thức P thu gọn được ở câu a ta có:

\(P=\frac{4}{\sqrt{4}-1}=\frac{4}{2-1}=\frac{4}{1}=4.\)

Vậy với \(x=\frac{19}{2\sqrt{5}-1}-\sqrt{29-12\sqrt{5}}\) thì \(P=4.\)

c) ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{align} & x>0 \\ & x\ne 1 \\ \end{align} \right..\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,P > 4 \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt x - 1}} > 4\\ \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt x - 1}} - 4 > 0 \Leftrightarrow \frac{{x - 4\sqrt x + 4}}{{\sqrt x - 1}} > 0\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2}}}{{\sqrt x - 1}} > 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x - 2 \ne 0\,\,\,\,\,\,\left( {do\,\,\,{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2} \ge 0} \right)\\\sqrt x - 1 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x \ne 2\\\sqrt x > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 4\\x > 1\end{array} \right..\end{array}\)

Kết hợp với ĐKXĐ ta được \(x>1\) và \(x\ne 4\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link