Cho đường tròn (O;R). Từ A nằm ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn
Cho đường tròn (O;R). Từ A nằm ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của BC.
1) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, O cùng thuộc một đường tròn.
2) Chứng minh ba điểm A, H, O thẳng hàng. Kẻ đường kính BD của đường tròn (O). Vẽ CK vuông góc với BD. Chứng minh AC.CD = CK. AO
3) Gọi giao điểm của AO với đường tròn tâm (O) là N. Chứng minh N là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Quảng cáo
Phương pháp:
Câu 1:
+) Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.
+) Tam giác vuông nội tiếp đường tròn đường kính là cạnh huyền.
Câu 2:
+) Tam giác cân có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền đồng thời là đường cao, đường trung trực và đường phân giác.
+) Sử dụng các tam giác để chứng minh đẳng thức.
Câu 3:
+) Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao của 3 đường phân giác.
Câu 4:
Giải:
1) Ta có: AB là tiếp tuyến của (O) tại B \(\Rightarrow OB\bot AB\,\,\Rightarrow \widehat{ABO}={{90}^{0}}.\)
\(\Rightarrow \) Tam giác ABO nội tiếp đường tròn đường kính AO. (Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền). (1)
AC là tiếp tuyến của (O) tại C \(\Rightarrow OC\bot AC\Rightarrow \widehat{ACO}={{90}^{0}}.\)
\(\Rightarrow \) Tam giác ACO nội tiếp đường tròn đường kính AO. (Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền). (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \) Bốn điểm A; C; B; O cùng thuộc đường tròn đường kính AO (đpcm).
2) Ta có AB và AC là hai tiếp tuyến cắt nhau \(\Rightarrow AB=AC\) (tính chất).
Xét \(\Delta ABC\) có: \(\left\{ \begin{align} & AB=AC\,\,\,\left( cmt \right) \\ & HB=HC\,\,\,\left( gt \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \) AH là đường cao của \(\Delta ABC\) (trong tam giác cân có đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời là đường cao).
Lại có \(AO\bot BC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
\(\Rightarrow A;\,\,H;\,\,O\) thẳng hàng.
+) Chứng minh \(AC.CD=CK.AO.\)
Ta có \(\Delta OBC\) cân tại O \(\Rightarrow \widehat{OBC}=\widehat{BCO}\) (hai góc kề đáy).
Mà \(\left\{ \begin{align} & \widehat{CBO}+\widehat{KDC}={{90}^{0}} \\ & \widehat{AOC}+\widehat{BCO}={{90}^{0}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \widehat{AOC}=\widehat{KDC}\) (tính chất bắc cầu).
Xét \(\Delta AOC\) và \(\Delta CDK\) ta có:
\(\begin{align} & \widehat{AOC}=\widehat{KDC}\,\,\,\left( cmt \right) \\ & \widehat{OCA}=\widehat{CKD}={{90}^{0}}. \\ & \Rightarrow \Delta AOC\backsim \Delta CDK\,\,\left( g-g \right). \\ & \Rightarrow \frac{AO}{CD}=\frac{AC}{CK}\Leftrightarrow AO.CK=AC.CD\,\,\,\left( dpcm \right). \\ \end{align}\)
3) Ta có: AH là đường cao đồng thời là đường phân giác của tam giác ABC. (3)
Nối \(N\) với \(D\), xét tam giác \(BND\) có \(\widehat{BND}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{NBD}+\widehat{NDB}={{90}^{0}}\).
Mà \(\widehat{NBD}+\widehat{NBA}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{NBA}=\widehat{NDB}\) (tính chất bắc cầu) (4)
Lại có \(\Delta OND\) cân tại \(O\Rightarrow \widehat{OND}=\widehat{ODN}\Rightarrow \widehat{OND}+\widehat{HNB}=\widehat{ODN}+\widehat{HNB}={{90}^{0}}\)
\(\Rightarrow \widehat{BDN}+\widehat{HNB}={{90}^{0}}\) mà \(\widehat{HNB}+\widehat{NBH}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{BDN}=\widehat{NBH}\) (cùng phụ với \(\widehat{HNB}\)) (5)
Từ (4) và (5) suy ra \(\widehat{NBA}=\widehat{NBH}=\widehat{NDB}\Rightarrow BN\) là tia phân giác của \(\widehat{B}\). (6)
Từ (3) và (6) ta có \(N\) là giao điểm ba đương phân giác của \(\Delta ABC\Rightarrow N\) là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
