Nguyên hàm của hàm số \(I = \int {\cos 2x\ln \left( {\sin x + \cos x} \right)dx} \) là:

Câu hỏi số 218760:

Vận dụng

A. \(I = {1 \over 2}\left( {1 + \sin 2x} \right)\ln \left( {1 + \sin 2x} \right) - {1 \over 4}\sin 2x + C\)

B. \(I = {1 \over 4}\left( {1 + \sin 2x} \right)\ln \left( {1 + \sin 2x} \right) - {1 \over 2}\sin 2x + C\)

C. \(I = {1 \over 4}\left( {1 + \sin 2x} \right)\ln \left( {1 + \sin 2x} \right) - {1 \over 4}\sin 2x + C\)

D. \(I = {1 \over 4}\left( {1 + \sin 2x} \right)\ln \left( {1 + \sin 2x} \right) + {1 \over 4}\sin 2x + C\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:218760

Phương pháp giải

Dùng công thức nhân đôi \(\cos 2x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x = \left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {\cos x + \sin x} \right)\), bằng cách đặt ẩn phụ \(t = \sin x + \cos x\) ta đưa nguyên hàm ban đầu về dạng đơn giản hơn, sau đó áp dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần. Lưu ý khi trong nguyên hàm có hàm ln và hàm đa thức ta ưu tiên đặt u bằng hàm ln.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\eqalign{ & \cos 2x\ln \left( {\sin x + \cos x} \right) = \left( {\cos x + \sin x} \right)\left( {\cos x - \sin x} \right)\ln \left( {\sin x + \cos x} \right) \cr & \Rightarrow I = \int {\left( {\cos x + \sin x} \right)\left( {\cos x - \sin x} \right)\ln \left( {\sin x + \cos x} \right)dx} \cr} \).

Đặt \(t = \sin x + \cos x \Rightarrow dt = \left( {\cos x - \sin x} \right)dx\) , khi đó ta có:\(I = \int {t\ln tdt} \)

Đặt

\(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ u = \ln t \hfill \cr dv = tdt \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = {1 \over t}dt \hfill \cr v = {{{t^2}} \over 2} \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow I = {1 \over 2}{t^2}\ln t - {1 \over 2}\int {tdt} + C = {1 \over 2}{t^2}\ln t - {{{t^2}} \over 4} + {C_1} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\, = {1 \over 2}{\left( {\sin x + \cos x} \right)^2}\ln \left( {\sin x + \cos x} \right) - {{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2}} \over 4} + {C_1} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\, = {1 \over 2}\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x + \sin 2x} \right)\ln \left( {\sin x + \cos x} \right) - {{1 + \sin 2x} \over 4} + {C_1} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\, = {1 \over 4}\left( {1 + \sin 2x} \right)\ln {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} - {{\sin 2x} \over 4} - {1 \over 4} + {C_1} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\, = {1 \over 4}\left( {1 + \sin 2x} \right)\ln \left( {1 + \sin 2x} \right) - {{\sin 2x} \over 4} + C. \cr} \).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.