Trong tam giác ABC, hệ thức nào sau đây đúng?

Câu hỏi số 218819:

Vận dụng

A. \(\sin A + \sin B + \sin C = {{{a^2} + {b^2} + {c^2}} \over {4S}}\)

B. \(\tan A + \tan B + \tan C = {{{a^2} + {b^2} + {c^2}} \over {4S}}\)

C. \(\cos A + \cos B + \cos C = {{{a^2} + {b^2} + {c^2}} \over {4S}}\)

D. \(\cot A + \cot B + \cot C = {{{a^2} + {b^2} + {c^2}} \over {4S}}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:218819

Phương pháp giải

Sử dụng công thức định lí cosin: \(\eqalign{ & {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\,CosA \cr & {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\,CosB \cr & {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\,CosC \cr} \) và công thức định lí sin: \({a \over {\sin \,A}} = {b \over {\sin \,B}} = {c \over {\sin \,C}} = 2R\), công thức tính diện tích \(S = {{abc} \over {4R}}\).

Giải chi tiết

\(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\,cosA \hfill \cr {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\,cosB \hfill \cr {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\,cosC \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ - {a^2} + {b^2} + {c^2} = 2bc\,\cos A \hfill \cr {a^2} - {b^2} + {c^2} = 2ac\,\cos B \hfill \cr {a^2} + {b^2} - {c^2} = 2ab\,\cos C \hfill \cr} \right. \cr & S = {{abc} \over {4R}} \Rightarrow 4S = {{abc} \over R} \cr & {a \over {\sin \,A}} = {b \over {\sin \,B}} = {c \over {\sin \,C}} = 2R \Rightarrow \left\{ \matrix{ \sin A = {a \over {2R}} \hfill \cr \sin B = {b \over {2R}} \hfill \cr \sin C = {c \over {2R}} \hfill \cr} \right. \cr & {{{a^2} + {b^2} + {c^2}} \over {4S}} = {{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {4S}} + {{{a^2} - {b^2} + {c^2}} \over {4S}} + {{ - {a^2} + {b^2} + {c^2}} \over {4S}} \cr & = {{2ab\cos C} \over {{{abc} \over R}}} + {{2ac\cos B} \over {{{abc} \over R}}} + {{2bc\cos A} \over {{{abc} \over R}}} \cr & = {{2R\cos C} \over c} + {{2R\cos B} \over b} + {{2R\cos A} \over a} \cr & = {{\cos C} \over {\sin C}} + {{\cos B} \over {\sin B}} + {{\cos A} \over {\sin A}} = \cot C + \cot B + \cot A \cr} \).

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10