Trong tam giác ABC, hệ thức nào sau đây đúng?

Câu hỏi số 218819:

Vận dụng

A. \(\sin A + \sin B + \sin C = {{{a^2} + {b^2} + {c^2}} \over {4S}}\)

B. \(\tan A + \tan B + \tan C = {{{a^2} + {b^2} + {c^2}} \over {4S}}\)

C. \(\cos A + \cos B + \cos C = {{{a^2} + {b^2} + {c^2}} \over {4S}}\)

D. \(\cot A + \cot B + \cot C = {{{a^2} + {b^2} + {c^2}} \over {4S}}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:218819

Phương pháp giải

Sử dụng công thức định lí cosin: \(\eqalign{ & {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\,CosA \cr & {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\,CosB \cr & {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\,CosC \cr} \) và công thức định lí sin: \({a \over {\sin \,A}} = {b \over {\sin \,B}} = {c \over {\sin \,C}} = 2R\), công thức tính diện tích \(S = {{abc} \over {4R}}\).

Giải chi tiết

\(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\,cosA \hfill \cr {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\,cosB \hfill \cr {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\,cosC \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ - {a^2} + {b^2} + {c^2} = 2bc\,\cos A \hfill \cr {a^2} - {b^2} + {c^2} = 2ac\,\cos B \hfill \cr {a^2} + {b^2} - {c^2} = 2ab\,\cos C \hfill \cr} \right. \cr & S = {{abc} \over {4R}} \Rightarrow 4S = {{abc} \over R} \cr & {a \over {\sin \,A}} = {b \over {\sin \,B}} = {c \over {\sin \,C}} = 2R \Rightarrow \left\{ \matrix{ \sin A = {a \over {2R}} \hfill \cr \sin B = {b \over {2R}} \hfill \cr \sin C = {c \over {2R}} \hfill \cr} \right. \cr & {{{a^2} + {b^2} + {c^2}} \over {4S}} = {{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {4S}} + {{{a^2} - {b^2} + {c^2}} \over {4S}} + {{ - {a^2} + {b^2} + {c^2}} \over {4S}} \cr & = {{2ab\cos C} \over {{{abc} \over R}}} + {{2ac\cos B} \over {{{abc} \over R}}} + {{2bc\cos A} \over {{{abc} \over R}}} \cr & = {{2R\cos C} \over c} + {{2R\cos B} \over b} + {{2R\cos A} \over a} \cr & = {{\cos C} \over {\sin C}} + {{\cos B} \over {\sin B}} + {{\cos A} \over {\sin A}} = \cot C + \cot B + \cot A \cr} \).

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.