Giá trị của tổng \({S_n} = {1^2} + {2^2} + ... + {n^2}\) là:
Câu 219332: Giá trị của tổng \({S_n} = {1^2} + {2^2} + ... + {n^2}\) là:
A. \({{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)} \over 6}\)
B. \({{n\left( {n + 2} \right)\left( {2n + 1} \right)} \over 6}\)
C. \({{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)} \over 6}\)
D. Đáp án khác.
Thử một giá trị bất kì của n thỏa mãn n là số nguyên dương và dự đoán kết quả.
Chứng minh kết quả vừa dự đoán là đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.
-
Đáp án : C(11) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Với n = 1 ta có \({S_1} = {1^2} = 1 = {{1\left( {1 + 1} \right)\left( {2.1 + 1} \right)} \over 6}\)
Với n = 2 ta có \({S_2} = {1^2} + {2^2} = 5 = {{2\left( {2 + 1} \right)\left( {2.2 + 1} \right)} \over 6}\)
Với n = 3 ta có \({S_3} = {1^2} + {2^2} + {3^2} = 14 = {{3\left( {3 + 1} \right)\left( {2.3 + 1} \right)} \over 6}\)
Dự đoán \({S_n} = {{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)} \over 6}\,\,\left( * \right)\), ta sẽ chứng minh đẳng thức (*) đúng bằng phương pháp quy nạp.
Với n = 1 thì (*) đúng.
Giả sử (*) đúng đến n = k, tức là \({S_k} = {1^2} + {2^2} + ... + {k^2} = {{k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)} \over 6}\), ta chứng minh (*) đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh \({S_{k + 1}} = {1^2} + {2^2} + ... + {\left( {k + 1} \right)^2} = {{\left( {k + 1} \right)\left( {\left( {k + 1} \right) + 1} \right)\left( {2\left( {k + 1} \right) + 1} \right)} \over 6}\).
Ta có:
\(\eqalign{ & {S_{k + 1}} = {1^2} + {2^2} + ... + {k^2} + {\left( {k + 1} \right)^2} = {{k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)} \over 6} + {\left( {k + 1} \right)^2} \cr & = {{\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + k + 6k + 6} \right)} \over 6} = {{\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + 7k + 6} \right)} \over 6} = {{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)} \over 6} = {{\left( {k + 1} \right)\left( {\left( {k + 1} \right) + 1} \right)\left( {2\left( {k + 1} \right) + 1} \right)} \over 6} \cr} \).
Vậy (*) đúng với mọi n.
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
