Biểu thức nào sau đây cho ta giá trị của tổng \(S = {1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3}\)

Câu hỏi số 219334:

Thông hiểu

A. \({{n\left( {n + 1} \right)} \over 2}\)

B. \({{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)} \over 6}\)

C. \({{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)\left( {3n + 1} \right)} \over {24}}\)

D. \({\left[ {{{n\left( {n + 1} \right)} \over 2}} \right]^2}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:219334

Phương pháp giải

Thử một giá trị bất kì của n thỏa mãn n là số nguyên dương và dự đoán kết quả.

Chứng minh kết quả vừa dự đoán là đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.

Giải chi tiết

Với n = 1 ta có: S = 1.

Với n = 2 ta có \(S = {1^3} + {2^3} = 9\), loại đáp án A, B và C.

Ta chứng minh đẳng thức ở đáp án D đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.

Giả sử đẳng thức đúng đến n = k, tức là \({S_k} = {1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {k^3} = {\left[ {{{k\left( {k + 1} \right)} \over 2}} \right]^2}\), ta chứng minh đẳng thức đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh \({S_{k + 1}} = {1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {\left( {k + 1} \right)^3} = {\left[ {{{\left( {k + 1} \right)\left( {\left( {k + 1} \right) + 1} \right)} \over 2}} \right]^2} = {\left[ {{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)} \over 2}} \right]^2}\)

Ta có: \({S_{k + 1}} = {1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {k^3} + {\left( {k + 1} \right)^3} = {\left[ {{{k\left( {k + 1} \right)} \over 2}} \right]^2} + {\left( {k + 1} \right)^3} = {{{{\left( {k + 1} \right)}^2}\left( {{k^2} + 4k + 4} \right)} \over 4} = {{{{\left( {k + 1} \right)}^2}{{\left( {k + 2} \right)}^2}} \over 4} = {\left[ {{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)} \over 2}} \right]^2}.\) Vậy đẳng thức đúng với mọi số nguyên dương n.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.