Với mọi số nguyên dương n thì \({S_n} = {5.2^{3n - 2}} + {3^{3n - 1}}\) chia hết cho:

Câu hỏi số 219344:

Vận dụng

A. 5

B. 7

C. 4

D. 19

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:219344

Phương pháp giải

Thử một giá trị bất kì của n thỏa mãn n là số nguyên dương và dự đoán kết quả.

Chứng minh kết quả vừa dự đoán là đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.

Giải chi tiết

Với n = 1 ta có: \({S_1} = 5.2 + {3^2} = 19\,\, \vdots \,\,19\)

Ta sẽ chứng minh S_n chia hết cho 19 với mọi số nguyên dương n.

Giả sử khẳng định trên đúng đến n = k, tức là \({S_k} = {5.2^{3k - 2}} + {3^{3k - 1}}\) chia hết cho 19, ta chứng minh \({S_{k + 1}} = {5.2^{3\left( {k + 1} \right) - 2}} + {3^{3\left( {k + 1} \right) - 1}}\) cũng chia hết cho 19.

Ta có:

\(\eqalign{ & {S_{k + 1}} = {5.2^{3\left( {k + 1} \right) - 2}} + {3^{3\left( {k + 1} \right) - 1}} = {5.2^{3k - 2 + 3}} + {3^{3k - 1 + 3}} = {5.2^{3k - 2}}{.2^3} + {3^{3k - 1}}{.3^3} = {8.5.2^{3k - 2}} + {27.3^{3k - 1}} \cr & = {8.5.2^{3k - 2}} + {8.3^{3k - 1}} + {19.2^{3k - 1}} = 8\left( {{{5.2}^{3k - 2}} + {3^{3k - 1}}} \right) + {19.2^{3k - 1}} \cr} \)

Có \(\left( {{{5.2}^{3k - 2}} + {3^{3k - 1}}} \right)\,\, \vdots \,\,19\) (giả thiết quy nạp), \(19\,\, \vdots \,\,19 \Rightarrow {19.2^{3k - 1}}\,\, \vdots \,\,19 \Rightarrow {S_{k + 1}}\,\, \vdots \,\,19.\)

Vậy S_n chia hết cho19 với mọi số nguyên dương n.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.