Với mọi số nguyên dương n, tổng \({S_n} = {n^3} + 11n\) chia hết cho

Câu 219345: Với mọi số nguyên dương n, tổng \({S_n} = {n^3} + 11n\) chia hết cho

A. 6

B. 4

C. 9

D. 12

Câu hỏi : 219345

Phương pháp giải:

Thử một giá trị bất kì của n thỏa mãn n là số nguyên dương và dự đoán kết quả.

Chứng minh kết quả vừa dự đoán là đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.

Đáp án : A
(4) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Với n = 1 ta có: \({S_1} = 1 + 11 = 12\), không chia hết cho 9 nên loại đáp án C.

Với n = 2 ta có \({S_2} = {2^3} + 11.2 = 30\) không chia hết cho 4 và 12 nên loại đáp án B và D.

Ta sẽ chứng minh \({S_n} = {n^3} + 11n\) chia hết cho 6 với mọi số nguyên dương n.

Giả sử khẳng định trên đúng đến n = k, tức là \({S_k} = {k^3} + 11k\) chia hết cho 6, ta chứng minh khẳng định trên đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh \({S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} + 11\left( {k + 1} \right)\) cũng chia hết cho 6.

Ta có: \({S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} + 11\left( {k + 1} \right) = {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 + 11k + 11 = {k^3} + 11k + 3{k^2} + 3k + 12 = \left( {{k^3} + 11k} \right) + 12 + 3\left( {{k^2} + k} \right)\)

Có: \({k^3} + 11k\) chia hết cho 6 (giả thiết quy nạp), 12 chia hết cho 6, ta cần chứng minh \(3\left( {{k^2} + k} \right) = 3k\left( {k + 1} \right)\) chia hết cho 6.

k và k + 1 là 2 số nguyên dương liên tiếp nên \(k\left( {k + 1} \right)\,\, \vdots \,\,2 \Rightarrow 3k\left( {k + 1} \right)\,\, \vdots \,\,2,\) kết hợp với \(3k\left( {k + 1} \right)\,\, \vdots \,\,3\) và 2; 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau nên \(3\left( {{k^2} + k} \right) = 3k\left( {k + 1} \right)\) chia hết cho 3.2 = 6.

Vậy \({S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} + 11\left( {k + 1} \right)\) cũng chia hết cho 6 hay \({S_n} = {n^3} + 11n\) chia hết cho 6 với mọi số nguyên dương n.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.