Các cạnh của tam giác ABC thỏa mãn hệ thức \({a^4} + {b^4} = {c^4}\). Khẳng định nào sau đây

Câu hỏi số 220581:

Vận dụng cao

Các cạnh của tam giác ABC thỏa mãn hệ thức \({a^4} + {b^4} = {c^4}\). Khẳng định nào sau đây đúng.

A. \(2{\cos ^2}C = \tan A.\tan B\).

B. \(2{\sin ^2}C = \tan A.\tan B\).

C. \(2{\tan ^2}C = \tan A.\tan B\).

D. \(2{\cot ^2}C = \tan A.\tan B.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:220581

Phương pháp giải

Áp dụng công thức cosin \(\eqalign{ & {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\,CosA \cr & {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\,CosB \cr} \) và công thức tính diện tích \(S = {1 \over 2}bc\sin A = {1 \over 2}ac\sin B = {1 \over 2}ab\sin C\)

Giải chi tiết

Từ giả thiết ta có:

\(\eqalign{ & {a^4} + {b^4} = {c^4} \Leftrightarrow {\left( {{a^2} - {b^2}} \right)^2} + 2{a^2}{b^2} = {c^4} \Leftrightarrow {c^4} - {\left( {{a^2} - {b^2}} \right)^2} = 2{a^2}{b^2} \cr & \Leftrightarrow \left( {{c^2} - {a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {a^2} - {b^2}} \right) = 2{a^2}{b^2} \cr} \)

\( \Leftrightarrow {{{c^2} - {a^2} + {b^2}} \over {4S}}.{{{c^2} + {a^2} - {b^2}} \over {4S}} = {2 \over 4}.{\left( {{{ab} \over {2S}}} \right)^2}\) (*)

Áp dụng công thức cosin và công thức tính diện tích \(S = {1 \over 2}bc\sin A = {1 \over 2}ac\sin B = {1 \over 2}ab\sin C\) ta có

(*) \( \Leftrightarrow {{2bc\cos A} \over {2bc\sin A}}.{{2ac\cos B} \over {2ac\sin B}} = {2 \over 4}.{\left( {{{ab} \over {ab\sin C}}} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow \cot A.\cot B = {1 \over {2{{\sin }^2}C}} \Leftrightarrow {1 \over {\tan A}}.{1 \over {\tan B}} = {1 \over {2{{\sin }^2}C}} \Leftrightarrow \tan A.\tan B = 2{\sin ^2}C\)

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.