Các cạnh của tam giác ABC thỏa mãn hệ thức \({a^4} + {b^4} = {c^4}\). Khẳng định nào sau đây

Câu hỏi số 220581:

Vận dụng cao

Các cạnh của tam giác ABC thỏa mãn hệ thức \({a^4} + {b^4} = {c^4}\). Khẳng định nào sau đây đúng.

A. \(2{\cos ^2}C = \tan A.\tan B\).

B. \(2{\sin ^2}C = \tan A.\tan B\).

C. \(2{\tan ^2}C = \tan A.\tan B\).

D. \(2{\cot ^2}C = \tan A.\tan B.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:220581

Phương pháp giải

Áp dụng công thức cosin \(\eqalign{ & {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\,CosA \cr & {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\,CosB \cr} \) và công thức tính diện tích \(S = {1 \over 2}bc\sin A = {1 \over 2}ac\sin B = {1 \over 2}ab\sin C\)

Giải chi tiết

Từ giả thiết ta có:

\(\eqalign{ & {a^4} + {b^4} = {c^4} \Leftrightarrow {\left( {{a^2} - {b^2}} \right)^2} + 2{a^2}{b^2} = {c^4} \Leftrightarrow {c^4} - {\left( {{a^2} - {b^2}} \right)^2} = 2{a^2}{b^2} \cr & \Leftrightarrow \left( {{c^2} - {a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {a^2} - {b^2}} \right) = 2{a^2}{b^2} \cr} \)

\( \Leftrightarrow {{{c^2} - {a^2} + {b^2}} \over {4S}}.{{{c^2} + {a^2} - {b^2}} \over {4S}} = {2 \over 4}.{\left( {{{ab} \over {2S}}} \right)^2}\) (*)

Áp dụng công thức cosin và công thức tính diện tích \(S = {1 \over 2}bc\sin A = {1 \over 2}ac\sin B = {1 \over 2}ab\sin C\) ta có

(*) \( \Leftrightarrow {{2bc\cos A} \over {2bc\sin A}}.{{2ac\cos B} \over {2ac\sin B}} = {2 \over 4}.{\left( {{{ab} \over {ab\sin C}}} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow \cot A.\cot B = {1 \over {2{{\sin }^2}C}} \Leftrightarrow {1 \over {\tan A}}.{1 \over {\tan B}} = {1 \over {2{{\sin }^2}C}} \Leftrightarrow \tan A.\tan B = 2{\sin ^2}C\)

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10