Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên R và hàm số \(y = g\left( x \right) = x.f\left( {{x^2}}

Câu hỏi số 220692:

Thông hiểu

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên R và hàm số \(y = g\left( x \right) = x.f\left( {{x^2}} \right)\) có đồ thị trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) như hình vẽ bên. Biết diện tích miền được tô màu là \(S = {5 \over 8},\) tính tích phân \(I = \int\limits_1^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .\)

A. \(I = {5 \over 4}.\)

B. \(I = {5 \over 2}.\)

C. \(I = 5.\)

D. \(I = 10.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:220692

Phương pháp giải

Dựa vào hình vẽ suy ra diện tích hình phẳng tô đậm theo g(x).

Sử dụng phương pháp đổi biến để tính tích phân I.

Giải chi tiết

Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng \(S = \int\limits_1^2 {\left| {g\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} \) vì \(g\left( x \right) \ge 0,\,\,\forall x \in \left[ {1;2} \right] \Rightarrow S = \int\limits_1^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = {5 \over 8}\)

Khi đó \(S = \int\limits_1^2 {x.f\left( {{x^2}} \right){\rm{d}}x} .\) Đặt \(t = {x^2} \Leftrightarrow {\rm{d}}t = 2x\,{\rm{d}}x \Leftrightarrow x\,{\rm{d}}x = {{{\rm{d}}t} \over 2}\) và đổi cận \(\left\{ \matrix{ x = 1\,\, \Rightarrow \,\,t = 1 \hfill \cr x = 2\,\, \Rightarrow \,\,t = 4 \hfill \cr} \right..\)

Vậy \(S = {5 \over 8} \Leftrightarrow \int\limits_1^4 {{1 \over 2}.f\left( t \right){\rm{d}}t} = {5 \over 8} \Leftrightarrow {1 \over 2}.\int\limits_1^4 {f\left( t \right){\rm{d}}t} = {5 \over 8} \Leftrightarrow \int\limits_1^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = {5 \over 4}\,\,\buildrel {} \over \longrightarrow \,I = {5 \over 4}.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.