Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \({u_1} = {1 \over 2}\) và \({u_n} = {u_{n - 1}} +

Câu hỏi số 221306:

Thông hiểu

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \({u_1} = {1 \over 2}\) và \({u_n} = {u_{n - 1}} + 2n\) với mọi \(n \ge 2\). Khi đó \({u_{50}}\) bằng:

A. 1274,5

B. 2548,5

C. 5096,5

D. 2550,5

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:221306

Phương pháp giải

Dự đoán và chứng minh số hạng tổng quát bằng phương pháp quy nạp toán học sau đó tìm số hạng thứ 50.

Giải chi tiết

Ta có: \({u_1} = {1 \over 2}\)

\(\eqalign{ & {u_2} = {u_1} + 2.2 = {1 \over 2} + 4 = {1 \over 2} + 2.2 \cr & {u_3} = {u_2} + 2.3 = {1 \over 2} + 4 + 6 = {1 \over 2} + 2\left( {2 + 3} \right) \cr & {u_4} = {u_3} + 2.4 = {1 \over 2} + 4 + 6 + 8 = {1 \over 2} + 2\left( {2 + 3 + 4} \right) \cr & ... \cr} \)

Dự đoán số hạng tổng quát \({u_n} = {1 \over 2} + 2\left( {2 + 3 + ... + n} \right)\,\,\,\,\,\left( * \right)\,\,\forall n \ge 2\)

Chứng minh bằng quy nạp:

(*) đúng với n = 2.

Giả sử (*) đúng đến \(n = k \ge 2\) , tức là \({u_k} = {1 \over 2} + 2\left( {2 + 3 + ... + k} \right)\), ta chứng minh (*) đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh \({u_{k + 1}} = {1 \over 2} + 2\left( {2 + 3 + ... + k + 1} \right)\).

Ta có: \({u_{k + 1}} = {u_k} + 2\left( {k + 1} \right) = {1 \over 2} + 2\left( {2 + 3 + ... + k} \right) + 2\left( {k + 1} \right) = {1 \over 2} + 2\left( {2 + 3 + ... + k + k + 1} \right)\).

Vậy (*) đúng với mọi \(n \ge 2\).

Mặt khác ta có \(1 + 2 + ... + n = {{n\left( {n + 1} \right)} \over 2} \Leftrightarrow 2 + 3 + ... + n = {{n\left( {n + 1} \right)} \over 2} - 1\)

Khi đó số hạng \({u_{50}} = {1 \over 2} + 2\left( {2 + 3 + ... + 50} \right) = {1 \over 2} + 2\left( {{{50.51} \over 2} - 1} \right) = 2548,5\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.