Cho dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) xác định bởi \({x_1} = 5\) và \({x_{n + 1}} = {x_n} + n,\,\,\forall n

Câu hỏi số 221313:

Thông hiểu

Cho dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) xác định bởi \({x_1} = 5\) và \({x_{n + 1}} = {x_n} + n,\,\,\forall n \in N*\). Số hạng tổng quát của dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) là:

A. \({x_n} = {{{n^2} - n + 10} \over 2}\)

B. \({x_n} = {{5{n^2} - 5n} \over 2}\)

C. \({x_n} = {{{n^2} + n + 10} \over 2}\)

D. \({x_n} = {{{n^2} + 3n + 12} \over 2}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:221313

Phương pháp giải

Tính một vài số hạng đầu tiên của dãy số.

Dự đoán số hạng tổng quát và chứng minh số hạng tổng quát đó đúng bằng phương pháp quy nạp

Giải chi tiết

\(\eqalign{ & {x_1} = 5 \cr & {x_2} = {x_1} + 1 = 5 + 1 \cr & {x_3} = {x_2} + 2 = 5 + 1 + 2 \cr & {x_4} = {x_3} + 3 = 5 + 1 + 2 + 3 \cr & ... \cr} \)

Dự đoán \({x_n} = 5 + 1 + 2 + 3 + ... + n - 1 = 5 + {{n\left( {n - 1} \right)} \over 2}\,\,\,\left( * \right)\,\,\forall n \in N*\)

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

(*) đúng với n = 1.

Giả sử (*) đúng đến n = k, tức là \({x_k} = 5 + {{k\left( {k - 1} \right)} \over 2}\,,\) ta chứng minh (*) đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh \({x_{k + 1}} = 5 + {{\left( {k + 1} \right)k} \over 2}\).

Ta có: \({x_{k + 1}} = {x_k} + k = 5 + {{k\left( {k - 1} \right)} \over 2}\, + k = 5 + {{k\left( {k - 1} \right) + 2k} \over 2} = 5 + {{k\left( {k - 1 + 2} \right)} \over 2} = 5 + {{\left( {k + 1} \right)k} \over 2}\).

Vậy (*) đúng với mọi \(n \in N*\).

Vậy \({x_n} = 5 + {{n\left( {n - 1} \right)} \over 2} = {{{n^2} - n + 10} \over 2}\,\,\,\,\,\forall n \in N*\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.