Cho dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) xác định bởi \({a_1} = 1\) và \({a_{n + 1}} = - {3 \over 2}a_n^2 + {5

Câu hỏi số 221338:

Vận dụng

Cho dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) xác định bởi \({a_1} = 1\) và \({a_{n + 1}} = - {3 \over 2}a_n^2 + {5 \over 2}{a_n} + 1,\,\,\forall n \in N*.\) Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

A. \({a_{2018}} = {a_2}\)

B. \({a_{2018}} = {a_1}\)

C. \({a_{2018}} = {a_3}\)

D. \({a_{2018}} = {a_4}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:221338

Phương pháp giải

Đây là dãy số có tính chất tuần hoàn, xác định tính chất tuần hoàn đó và suy ra đáp án.

Giải chi tiết

Sáu số hạng đầu tiên của dãy số đó là

\(\eqalign{ & {a_1} = 1 \cr & {a_2} = - {3 \over 2} + {5 \over 2} + 1 = 2 \cr & {a_3} = - {3 \over 2}.4 + {5 \over 2}.2 + 1 = 0 \cr & {a_4} = - {3 \over 2}.0 + {5 \over 2}.0 + 1 = 1 \cr & {a_5} = - {3 \over 2} + {5 \over 2} + 1 = 2 \cr & {a_6} = - {3 \over 2}.4 + {5 \over 2}.2 + 1 = 0 \cr} \)

Ta thấy cứ sau 3 số hạng, dãy số trên sẽ bị lặp lại, do đó ta dự đoán \({a_{n + 3}} = {a_n}\,\,\forall n \ge 1\)

Chứng minh khẳng định trên bằng phương pháp quy nạp toán học :

Đẳng thức đúng với n = 1, \({a_1} = {a_4} = 1\).

Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là \({a_{k + 3}} = {a_k}\), ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là cần chứng minh \({a_{k + 4}} = {a_{k + 1}}\)

Ta có :

\(\eqalign{ & {a_{k + 4}} = - {3 \over 2}a_{k + 3}^2 + {5 \over 2}{a_{k + 3}} + 1 \cr & {a_{k + 1}} = - {3 \over 2}a_k^2 + {5 \over 2}{a_k} + 1 \cr} \)

Mà \({a_{k + 3}} = {a_k} \Rightarrow {a_{k + 4}} = {a_{k + 1}}\), vậy \({a_{n + 3}} = {a_n}\,\,\forall n \ge 1\).

Ta lại có 2018 = 3.672 + 2. Từ đó suy ra \({a_{2018}} = {a_2}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.