Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \({u_1} = 2\) và \({u_n} = 2{u_{n + 1}} - 1,\,\,\forall n

Câu hỏi số 221341:

Vận dụng

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \({u_1} = 2\) và \({u_n} = 2{u_{n + 1}} - 1,\,\,\forall n \in N*\), có tính chất:

A. là dãy số tăng và bị chặn.

B. là dãy số giảm và bị chặn.

C. là dãy số giảm và không bị chặn.

D. là dãy số tăng và không bị chặn.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:221341

Phương pháp giải

Tìm số hạng tổng quát và chứng minh dãy số đó tăng (giảm) và bị chặn.

Giải chi tiết

\({u_n} = 2{u_{n + 1}} - 1 \Rightarrow {u_{n + 1}} = {{{u_n} + 1} \over 2}\)

Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = {{{u_n} + 1} \over 2} - {u_n} = {{1 - {u_n}} \over 2} = {1 \over 2} - {{{u_n}} \over 2}\)

Lại có : \({u_n} = {{{u_{n - 1}} + 1} \over 2} \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = {1 \over 2} + {{{u_n}} \over 2} - {u_n} = {{{u_n}} \over 2} + {1 \over 2} - {{{u_{n - 1}}} \over 2} - {1 \over 2} = {1 \over 2}\left( {{u_n} - {u_{n - 1}}} \right)\)

Tương tự ta có \({u_n} - {u_{n - 1}} = {1 \over 2}\left( {{u_{n - 1}} - {u_{n - 2}}} \right)\)

Tiếp tục như vậy ta được \({u_{n + 1}} - {u_1} = {1 \over {{2^{n - 1}}}}\left( {{u_2} - {u_1}} \right)\)

Ta có: \({u_2} = {{{u_1} + 1} \over 2} = {3 \over 2} \Rightarrow {u_2} - {u_1} = - {1 \over 2}\)

\( \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = - {1 \over {{2^n}}} < 0 \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.

\({u_{n + 1}} - {u_n} = - {1 \over {{2^n}}} \Leftrightarrow {u_{n + 1}} = {u_n} - {1 \over {{2^n}}}\)

Mà

\(\eqalign{ & {u_n} = 2{u_{n + 1}} - 1 \Rightarrow {u_n} = 2\left( {{u_n} - {1 \over {{2^n}}}} \right) - 1 = 2{u_n} - {1 \over {{2^{n - 1}}}} - 1 \cr & \Rightarrow {u_n} = {1 \over {{2^{n - 1}}}} + 1 \Rightarrow 1 < {u_n} \le 2 \cr} \)

Vậy \(u_n\) là dãy bị chặn.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.