Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \({u_1} = 2\) và \({u_n} = 2{u_{n + 1}} - 1,\,\,\forall n \in N*\), có tính chất:

Câu 221341: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \({u_1} = 2\) và \({u_n} = 2{u_{n + 1}} - 1,\,\,\forall n \in N*\), có tính chất:

A. là dãy số tăng và bị chặn.

B. là dãy số giảm và bị chặn.

C. là dãy số giảm và không bị chặn.

D. là dãy số tăng và không bị chặn.

Câu hỏi : 221341

Phương pháp giải:

Tìm số hạng tổng quát và chứng minh dãy số đó tăng (giảm) và bị chặn.

Đáp án : B
(22) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\({u_n} = 2{u_{n + 1}} - 1 \Rightarrow {u_{n + 1}} = {{{u_n} + 1} \over 2}\)

Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = {{{u_n} + 1} \over 2} - {u_n} = {{1 - {u_n}} \over 2} = {1 \over 2} - {{{u_n}} \over 2}\)

Lại có : \({u_n} = {{{u_{n - 1}} + 1} \over 2} \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = {1 \over 2} + {{{u_n}} \over 2} - {u_n} = {{{u_n}} \over 2} + {1 \over 2} - {{{u_{n - 1}}} \over 2} - {1 \over 2} = {1 \over 2}\left( {{u_n} - {u_{n - 1}}} \right)\)

Tương tự ta có \({u_n} - {u_{n - 1}} = {1 \over 2}\left( {{u_{n - 1}} - {u_{n - 2}}} \right)\)

Tiếp tục như vậy ta được \({u_{n + 1}} - {u_1} = {1 \over {{2^{n - 1}}}}\left( {{u_2} - {u_1}} \right)\)

Ta có: \({u_2} = {{{u_1} + 1} \over 2} = {3 \over 2} \Rightarrow {u_2} - {u_1} = - {1 \over 2}\)

\( \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = - {1 \over {{2^n}}} < 0 \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.

\({u_{n + 1}} - {u_n} = - {1 \over {{2^n}}} \Leftrightarrow {u_{n + 1}} = {u_n} - {1 \over {{2^n}}}\)

Mà

\(\eqalign{ & {u_n} = 2{u_{n + 1}} - 1 \Rightarrow {u_n} = 2\left( {{u_n} - {1 \over {{2^n}}}} \right) - 1 = 2{u_n} - {1 \over {{2^{n - 1}}}} - 1 \cr & \Rightarrow {u_n} = {1 \over {{2^{n - 1}}}} + 1 \Rightarrow 1 < {u_n} \le 2 \cr} \)

Vậy \(u_n\) là dãy bị chặn.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.