Biết \({{x}_{1}};\,{{x}_{2}}\,\,({{x}_{1}}<{{x}_{2}})\) là hai nghiệm của phương trình \({{\log

Câu hỏi số 221751:

Vận dụng

Biết \({{x}_{1}};\,{{x}_{2}}\,\,({{x}_{1}}<{{x}_{2}})\) là hai nghiệm của phương trình \({{\log }_{3}}\left( \sqrt{{{x}^{2}}-3x+2}+2 \right)+{{5}^{{{x}^{2}}-3x+1}}=2\) và \({{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=\frac{1}{2}\left( a+\sqrt{b} \right)\) với \(a,\,b\)là hai số nguyên dương. Tính a + B.

A. a + b = 13.

B. a + b = 11.

C. a + b = 14.

D. a + b = 16.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:221751

Phương pháp giải

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình.

Giải chi tiết

Điều kiện : \(x\in \left( -\infty ;1 \right]\cup \left[ 2;+\infty \right)\)

Đặt \(t=\sqrt{{{x}^{2}}-3x+2},\,t\ge 0\Rightarrow {{x}^{2}}-3x+1={{t}^{2}}-1\). Khi đó, phương trình đã cho có dạng : \({{\log }_{3}}(t+2)+{{5}^{{{t}^{2}}-1}}=2\,\,(*)\)

Xét hàm số \(f(t)={{\log }_{3}}(t+2)+{{5}^{{{t}^{2}}-1}}\) trên \(\left[ 0;+\infty \right)\):

\(f'(t)=\frac{1}{(t+2)\ln 3}+2t{{.5}^{{{t}^{2}}-1}}>0,\,\,\forall t\in \left[ 0;+\infty \right)\)

=> Hàm số đồng biến trên \(\left[ 0;+\infty \right)\).

Phương trình \((*)\Leftrightarrow f(t)=f(1)\Leftrightarrow t=1\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-3x+2}=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x+1=0\Leftrightarrow {{x}_{1}}=\frac{3+\sqrt{5}}{2},\,{{x}_{2}}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\)

Do đó, \({x_1} + 2{x_2} = \frac{1}{2}\left( {9 + \sqrt 5 } \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 9\\b = 5\end{array} \right. \Rightarrow a + b = 14.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.