Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A(1;1;-1),B(-1;3;-1),C(0,2,5)\) và mặt phẳng

Câu hỏi số 221921:

Thông hiểu

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A(1;1;-1),B(-1;3;-1),C(0,2,5)\) và mặt phẳng \((P):x+y+2z-6=0\)Tìm \(M\in (P)\) sao cho \(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|\) nhỏ nhất.

A. \(M(1;3;1)\)

B. \(M(3;1;1)\)

C. \(M\left( \frac{7}{3};\frac{1}{3};\frac{5}{3} \right)\)

D. \(M\left( \frac{1}{3};\frac{7}{3};\frac{5}{3} \right)\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:221921

Phương pháp giải

Vì \(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|=\left| 3\overrightarrow{MG} \right|\) ) (với G là trọng tâm của \(\Delta \)ABC) \(\Rightarrow \) \(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất \(\Leftrightarrow MG\) đạt giá trị nhỏ nhất\(\Leftrightarrow \)M là hình chiếu của G trên mặt phẳng (P).

Bài toán đưa về nhiệm vụ tìm hình chiếu của G trên mặt phẳng (P).

Giải chi tiết

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC\(\Rightarrow G(0;2;1)\)

Ta có \(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|=\left| 3\overrightarrow{MG} \right|=3MG\)

\(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất \(\Leftrightarrow MG\) đạt giá trị nhỏ nhất\(\Leftrightarrow \)M là hình chiếu của G trên mặt phẳng (P).

Ta có: \(MG:\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {u_{MG}} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1;2} \right)\\G(0;2;1)\end{array} \right. \Rightarrow MG:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\)

Tọa độ của M là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + t\\z = 1 + 2t\\x + y + 2z - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + t\\z = 1 + 2t\\6t - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3}\\y = \frac{7}{3}\\z = \frac{5}{3}\\t = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{1}{3};\frac{7}{3};\frac{5}{3}} \right)\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.