Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A(1;1;-1),B(-1;3;-1),C(0,2,3)\) và mặt phẳng \((P):x+y+2z-6=0\)Tìm \(M\in (P)\) sao cho \(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC} \right|\) nhỏ nhất.
Câu 221922: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A(1;1;-1),B(-1;3;-1),C(0,2,3)\) và mặt phẳng \((P):x+y+2z-6=0\)Tìm \(M\in (P)\) sao cho \(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC} \right|\) nhỏ nhất.
A. \(M(1;3;1)\)
B. \(M(3;1;1)\)
C. \(M\left( \frac{7}{3};\frac{1}{3};\frac{5}{3} \right)\)
D. \(M\left( \frac{1}{3};\frac{7}{3};\frac{5}{3} \right)\)
Quảng cáo
Tính \(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC} \right|\)=k.MJ với J là một điểm cố định. Bài toán đưa về tìm hình chiếu của J trên (P).
-
Đáp án : D(8) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Gọi I là trung điểm của AB\(\Rightarrow I(0;2;-1)\)
Ta có \(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC} \right|=\left| 2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{MC} \right|=2\left| \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MC} \right|\)
Gọi J là trung điểm của IC\(\Rightarrow J\left( 0;2;1 \right)\)
Ta có \(\left| \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MC} \right|=\left| 2\overrightarrow{MJ} \right|=2MJ\)
Suy ra \(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC} \right|=4.MJ\)
\(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất \(\Leftrightarrow MJ\) đạt giá trị nhỏ nhất
\(\Leftrightarrow \)M là hình chiếu của J trên mặt phẳng (P).
Ta có: \(MJ:\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MJ} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1;2} \right)\\J(0;2;1)\end{array} \right. \Rightarrow MJ:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\)
Tọa độ của M là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + t\\z = 1 + 2t\\x + y + 2z - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + t\\z = 1 + 2t\\6t - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3}\\y = \frac{7}{3}\\z = \frac{5}{3}\\t = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{1}{3};\frac{7}{3};\frac{5}{3}} \right)\)
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
