Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A(1;1;-1),B(-1;3;-1),C(0,2,3)\) và mặt phẳng

Câu hỏi số 221922:

Thông hiểu

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A(1;1;-1),B(-1;3;-1),C(0,2,3)\) và mặt phẳng \((P):x+y+2z-6=0\)Tìm \(M\in (P)\) sao cho \(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC} \right|\) nhỏ nhất.

A. \(M(1;3;1)\)

B. \(M(3;1;1)\)

C. \(M\left( \frac{7}{3};\frac{1}{3};\frac{5}{3} \right)\)

D. \(M\left( \frac{1}{3};\frac{7}{3};\frac{5}{3} \right)\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:221922

Phương pháp giải

Tính \(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC} \right|\)=k.MJ với J là một điểm cố định. Bài toán đưa về tìm hình chiếu của J trên (P).

Giải chi tiết

Gọi I là trung điểm của AB\(\Rightarrow I(0;2;-1)\)

Ta có \(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC} \right|=\left| 2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{MC} \right|=2\left| \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MC} \right|\)

Gọi J là trung điểm của IC\(\Rightarrow J\left( 0;2;1 \right)\)

Ta có \(\left| \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MC} \right|=\left| 2\overrightarrow{MJ} \right|=2MJ\)

Suy ra \(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC} \right|=4.MJ\)

\(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất \(\Leftrightarrow MJ\) đạt giá trị nhỏ nhất

\(\Leftrightarrow \)M là hình chiếu của J trên mặt phẳng (P).

Ta có: \(MJ:\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MJ} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1;2} \right)\\J(0;2;1)\end{array} \right. \Rightarrow MJ:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\)

Tọa độ của M là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + t\\z = 1 + 2t\\x + y + 2z - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + t\\z = 1 + 2t\\6t - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3}\\y = \frac{7}{3}\\z = \frac{5}{3}\\t = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{1}{3};\frac{7}{3};\frac{5}{3}} \right)\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.