Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A(1;1;-1),B(-1;3;-1)\) và mặt phẳng \((P):x+y+2z-6=0\)Tìm \(M\in (P)\) sao cho \(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right|\) nhỏ nhất.
Câu 221920: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A(1;1;-1),B(-1;3;-1)\) và mặt phẳng \((P):x+y+2z-6=0\)Tìm \(M\in (P)\) sao cho \(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right|\) nhỏ nhất.
A. \(M(1;3;1)\)
B. \(M(0;0;3)\)
C. \(M(6;0;0)\)
D. \(M(2;2;1)\)
Vì \(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right|=\left| 2\overrightarrow{MI} \right|=2MI\) (với I là trung điểm của AB) \(\Rightarrow \) \(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất \(\Leftrightarrow MI\) đạt giá trị nhỏ nhất\(\Leftrightarrow \)M là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P).
Bài toán đưa về nhiệm vụ tìm hình chiếu của I trên mặt phẳng (P).
-
Đáp án : A(15) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Gọi I là trung điểm của AB\(\Rightarrow I(0;2;-1)\)
Ta có \(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right|=\left| 2\overrightarrow{MI} \right|=2MI\)
\(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất \(\Leftrightarrow MI\)đạt giá trị nhỏ nhất\(\Leftrightarrow \)M là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P).
Ta có: \(MI:\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MI} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1;2} \right)\\I(0;2; - 1)\end{array} \right. \Rightarrow MI:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.\)
Tọa độ của M là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + t\\z = - 1 + 2t\\x + y + 2z - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + t\\z = - 1 + 2t\\6t - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 3\\z = 1\\t = 1\end{array} \right. \Rightarrow M(1;3;1)\)
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com