Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A(1;1;-1),B(-1;3;-1)\) và mặt phẳng

Câu hỏi số 221920:

Nhận biết

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A(1;1;-1),B(-1;3;-1)\) và mặt phẳng \((P):x+y+2z-6=0\)Tìm \(M\in (P)\) sao cho \(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right|\) nhỏ nhất.

A. \(M(1;3;1)\)

B. \(M(0;0;3)\)

C. \(M(6;0;0)\)

D. \(M(2;2;1)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:221920

Phương pháp giải

Vì \(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right|=\left| 2\overrightarrow{MI} \right|=2MI\) (với I là trung điểm của AB) \(\Rightarrow \) \(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất \(\Leftrightarrow MI\) đạt giá trị nhỏ nhất\(\Leftrightarrow \)M là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P).

Bài toán đưa về nhiệm vụ tìm hình chiếu của I trên mặt phẳng (P).

Giải chi tiết

Gọi I là trung điểm của AB\(\Rightarrow I(0;2;-1)\)

Ta có \(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right|=\left| 2\overrightarrow{MI} \right|=2MI\)

\(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất \(\Leftrightarrow MI\)đạt giá trị nhỏ nhất\(\Leftrightarrow \)M là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P).

Ta có: \(MI:\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MI} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1;2} \right)\\I(0;2; - 1)\end{array} \right. \Rightarrow MI:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.\)

Tọa độ của M là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + t\\z = - 1 + 2t\\x + y + 2z - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + t\\z = - 1 + 2t\\6t - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 3\\z = 1\\t = 1\end{array} \right. \Rightarrow M(1;3;1)\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.