Cho phương trình \(\frac{{(m - 1){x^2} - 2mx + m + 1}}{{x + 1}} = 0\). Tìm m để phương trình có nghiệm

Câu hỏi số 222983:

Vận dụng

Cho phương trình \(\frac{{(m - 1){x^2} - 2mx + m + 1}}{{x + 1}} = 0\). Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt \({x_1}\,\,;\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} + \frac{5}{2} = 0\)

A. \(m = \frac{1}{3}\)

B. \(m = \frac{- 1}{3}\)

C. \(m = \frac{1}{3}\) hoặc \(m = \frac{- 1}{3}\)

D. Kết quả khác

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:222983

Phương pháp giải

Biến đổi tương đương bài toán về tìm điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước. Sử dụng định lý Vi – ét biến đổi biểu thức theo \({x_1} + {x_2}\,\,;\,\,{x_1}{x_2}\). Từ đó tìm điều kiện của tham số m.

Giải chi tiết

\(\frac{{(m - 1){x^2} - 2mx + m + 1}}{{x + 1}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ne 0\\(m - 1){x^2} - 2mx + m + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 1\\(m - 1){x^2} - 2mx + m + 1 = 0\end{array} \right.\)

Phương trình \(\frac{{(m - 1){x^2} - 2mx + m + 1}}{{x + 1}} = 0\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình \((m - 1){x^2} - 2mx + m + 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác -1 khi và chỉ khi thỏa mãn hệ điều kiện:

\(\left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ne 0\\{\Delta'} = {m^2} - (m - 1)(m + 1) > 0\\(m - 1).{( - 1)^2} - 2m.( - 1) + m + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\1 > 0\\4m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m \ne 0\end{array} \right.\)

Áp dụng định lý Vi – ét ta có: \({x_1} + {x_2} = \frac{{2m}}{{m - 1}}\,\,\,;\,\,{x_1}{x_2} = \frac{{m + 1}}{{m - 1}}\,\,\,.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} + \frac{5}{2} = 0 \Leftrightarrow \frac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{x_1}{x_2}}} + \frac{5}{2} = 0 \Leftrightarrow \frac{{{{({x_1} + {x_2})}^2} - 2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} + \frac{5}{2} = 0\\\Leftrightarrow \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2}}}{{{x_1}{x_2}}} + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {\frac{{2m}}{{m - 1}}} \right)}^2}}}{{\frac{{m + 1}}{{m - 1}}}} + \frac{1}{2} = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{4{m^2}}}{{{m^2} - 2m + 1}} + \frac{1}{2}.\frac{{m + 1}}{{m - 1}} = 0 \Leftrightarrow 8{m^2} + {m^2} - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 9{m^2} = 1 \Leftrightarrow m = \pm \frac{1}{3}\,\,\,\left( {tm} \right).\end{array}\)

Chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link