Gọi \(M\left( a;b \right)\) là điểm trên đồ thị hàm số \(y=\frac{2x+1}{x+2}\) mà có khoảng cách

Câu hỏi số 223330:

Vận dụng cao

Gọi \(M\left( a;b \right)\) là điểm trên đồ thị hàm số \(y=\frac{2x+1}{x+2}\) mà có khoảng cách đến đường thẳng \(d:y=3x+6\) nhỏ nhất. Khi đó

A. \(a+2b=1.\)

B. \(a+b=2.\)

C. \(a+b=-\,2.\)

D. \(a+2b=3.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:223330

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, đưa về khảo sát hàm số để tìm giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất.

Giải chi tiết

Lời giải:

Điểm \(M\left( a;b \right)\in \left( H \right)\Rightarrow M\left( a;\frac{2a+1}{a+2} \right)\)\(\Rightarrow \)\(d\left( M;\left( d \right) \right)=\frac{\left| 3a-\frac{2a+1}{a+2}+6 \right|}{\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}}.\left| \frac{3{{a}^{2}}+10a+11}{a+2} \right|.\)

Xét hàm số \(f\left( a \right)=\frac{3{{a}^{2}}+10a+11}{a+2}\) với \(a\ne -\,2,\) có \({f}'\left( a \right)=\frac{3\left( {{a}^{2}}+4a+3 \right)}{{{\left( a+2 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & a=-\,1 \\ & a=-\,3 \\\end{align} \right..\)

Tính các giá trị \(f\left( -1 \right)=4;\,\,f\left( -\,3 \right)=-\,8\) và \(\underset{x\,\to \,-\,2}{\mathop{\lim }}\,f\left( a \right)=\infty ;\,\,\underset{x\,\to \,\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( a \right)=\infty \)

Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số \(\left| f\left( a \right) \right|\) bằng \(4\,\,\Leftrightarrow \,\,a=-\,1.\)

Vậy \(\left\{ \begin{align} & a=-\,1 \\ & b=-\,1 \\\end{align} \right.\Rightarrow a+b=-\,2.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.