Tập nghiệm của phương trình\(\sqrt{x+5-4\sqrt{x+1}}+\sqrt{x+2-2\sqrt{x+1}}=1\) là:

Câu hỏi số 224654:

Vận dụng cao

A. {3}

B. [0; 3]

C. (0; 3)

D. {0; 3}

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:224654

Phương pháp giải

Phương pháp:

+ Phương trình có dạng: \(\sqrt{f(x)}+\sqrt{g(x)}=c\) trong đó \(f(x)={{h}^{2}}(x);\,\,\,g(x)={{k}^{2}}(x)\)

+ Khi đó phương trình được đưa về dạng \(\sqrt{{{h}^{2}}(x)}+\sqrt{{{k}^{2}}(x)}=c\Leftrightarrow \left| h(x) \right|+\left| k(x) \right|=c\). Bỏ dấu trị tuyệt đối theo định nghĩa \(A=\left\{ \begin{align} & \,\,\begin{matrix} A & khi & A\ge 0 \\\end{matrix} \\ & \begin{matrix} -A & khi & A<0 \\\end{matrix} \\\end{align} \right.\).

Giải phương trình ta tìm được x

Giải chi tiết

Điều kiện: \(x+1\ge 0\Leftrightarrow x\ge -1\)

Ta có:

\(\begin{align} & x+5-4\sqrt{x+1}=x+1-4\sqrt{x+1}+4={{\left( \sqrt{x+1}-2 \right)}^{2}} \\ & x+2-2\sqrt{x+1}=x+1-2\sqrt{x+1}+1={{\left( \sqrt{x+1}-1 \right)}^{2}} \\\end{align}\)

Phương trình:

\(\begin{align} & \sqrt{x+5-4\sqrt{x+1}}+\sqrt{x+2-2\sqrt{x+1}}=1\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( \sqrt{x+1}-2 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( \sqrt{x+1}-1 \right)}^{2}}}=1 \\ & \Leftrightarrow \left| \sqrt{x+1}-2 \right|+\left| \sqrt{x+1}-1 \right|=1\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\\end{align}\)

+) Trường hợp 1: Nếu \(\sqrt{x+1}\ge 2\Leftrightarrow x+1\ge 4\Leftrightarrow x\ge 3\) thì: \(\left\{ \begin{align} & \left| \sqrt{x+1}-2 \right|=\sqrt{x+1}-2 \\ & \left| \sqrt{x+1}-1 \right|=\sqrt{x+1}-1 \\\end{align} \right.\)

\(\left( 1 \right)\,\,\Leftrightarrow \sqrt{x+1}-2+\sqrt{x+1}-1=1\Leftrightarrow \sqrt{x+1}=2\Leftrightarrow x+1=4\Leftrightarrow x=3\,\,\,\left( tm \right)\)

+) Trường hợp 2: Nếu \(\sqrt{x+1}\le 1\Leftrightarrow x+1\le 1\Leftrightarrow x\le 0\) thì: \(\left\{ \begin{align} & \left| \sqrt{x+1}-2 \right|=2-\sqrt{x+1} \\ & \left| \sqrt{x+1}-1 \right|=1-\sqrt{x+1} \\\end{align} \right.\)

\(\left( 1 \right)\Leftrightarrow 2-\sqrt{x+1}+1-\sqrt{x+1}=1\Leftrightarrow \sqrt{x+1}=1\Leftrightarrow x+1=1\Leftrightarrow x=0\,\,\,\left( tm \right)\)

+) Trường hợp 3: Nếu \(1<\sqrt{x+1}<2\Leftrightarrow 1<x+1<4\Leftrightarrow 0<x<3\) thì: \(\left\{ \begin{align} & \left| \sqrt{x+1}-2 \right|=2-\sqrt{x+1} \\ & \left| \sqrt{x+1}-1 \right|=\sqrt{x+1}-1 \\\end{align} \right.\)

\((1)\Leftrightarrow 2-\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}-1=1\)

\(\Leftrightarrow 1=1\) (luôn đúng với \(\forall x \in \)(0; 3) )

Vậy tập nghiệm của phương trình là [0; 3]

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.