Tổng bình phương các nghiệm của phương trình \(\sqrt {4{{\rm{x}}^2} + x + 6} = 4{\rm{x}} - 2 + 7\sqrt {x

Câu hỏi số 225700:

Vận dụng cao

Tổng bình phương các nghiệm của phương trình \(\sqrt {4{{\rm{x}}^2} + x + 6} = 4{\rm{x}} - 2 + 7\sqrt {x + 1} \) là:

A. \(2\)

B. \( - \dfrac{{11}}{2}\)

C. \(\dfrac{{11}}{2}\)

D. \(\dfrac{5}{2}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:225700

Phương pháp giải

+ Phân tích từng vế của phương trình để xuất hiện nhân tử chung

+ Chia cả 2 vế của phương trình cho \(\sqrt {x + 1} \)với điều kiện x > 1

+ Đặt \(t = \dfrac{{2{\rm{x}} - 1}}{{\sqrt {x + 1} }}\) suy ra phương trình ẩn t

Giải chi tiết

Điều kiện : \(x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - 1\)

Ta có: \(\sqrt {4{{\rm{x}}^2} + x + 6} = 4{\rm{x}} - 2 + 7\sqrt {x + 1} \Leftrightarrow \sqrt {4{{\rm{x}}^2} - 4x + 1 + 5{\rm{x}} + 5} = 2(2{\rm{x}} - 1) + 7\sqrt {x + 1} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}^2} + 5\left( {{\rm{x}} + 1} \right)} = 2\left( {2{\rm{x}} - 1} \right) + 7\sqrt {x + 1} \\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\dfrac{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}}{{x + 1}}}^2} + 5} = 2.\dfrac{{2{\rm{x}} - 1}}{{\sqrt {x + 1} }} + 7\end{array}\)

Đặt \(t = \dfrac{{2{\rm{x}} - 1}}{{\sqrt {x + 1} }}\), phương trình trở thành:\(\sqrt {{t^2} + 5} = 2t + 7\)

Điều kiện \(2t + 7 \ge 0 \Leftrightarrow t \ge - \dfrac{7}{2}\)

Phương trình:

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {t^2} + 5 = {\left( {2t + 7} \right)^2} \Leftrightarrow {t^2} + 5 = 4{t^2} + 28t + 49\\ \Leftrightarrow 3{t^2} + 28t + 44 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = - \dfrac{{22}}{3}\,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \(t = - 2 \Leftrightarrow - 2 = \dfrac{{2{\rm{x}} - 1}}{{\sqrt {x + 1} }} \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} = - x + \dfrac{1}{2}\,\,\,\left( * \right)\)

Điều kiện \( - x + \dfrac{1}{2} \ge 0 \Leftrightarrow x \le \dfrac{1}{2}\)

Khi đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow x + 1 = {x^2} - x + \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow {x^2} - 2x - \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow 4{x^2} - 8x - 3 = 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1)

Theo Vi – et, ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}.{x_2} = - \dfrac{3}{4}\end{array} \right. \Rightarrow {x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}.{x_2} = 4 + \dfrac{3}{2} = \dfrac{{11}}{2}\)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.