Trong mặt phẳng Oxy cho ba đường thẳng \({d_1}:3x - y - 4 = 0;{d_2}:x + y - 6 = 0\) và \({d_3}:x - 3 = 0\).

Câu hỏi số 226869:

Vận dụng

Trong mặt phẳng Oxy cho ba đường thẳng \({d_1}:3x - y - 4 = 0;{d_2}:x + y - 6 = 0\) và \({d_3}:x - 3 = 0\). Tìm tọa độ đỉnh C của hình thoi ABCD biết rằng góc \(\widehat {BAD} = {120^0}\) ; các điểm A, C thuộc \({d_3}\), B thuộc \({d_1}\) và D thuộc \({d_2}\).

A. \(\left( {3; \pm 2} \right)\)

B. \(\left( {3;\frac{{ \pm \sqrt 3 }}{3}} \right)\)

C. \(\left( {3;\frac{{6 \pm \sqrt 3 }}{3}} \right)\)

D. \(\left( {3;3} \right)\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:226869

Phương pháp giải

+) Tham số hóa tọa độ điểm B và D (ẩn b và d)

+) Xác định tọa độ trung điểm I của BD.

+) \(I \in {d_3} \Rightarrow \) tìm mối liên hệ giữa 2 ẩn b và d.

+) \(\overrightarrow {BD} \bot {\overrightarrow u _{AC}} \Rightarrow \) tìm mối liên hệ giữa 2 ẩn b và d.

+) Giải hệ phương trình tìm b và d.

+) Tham số hóa tọa độ điểm A và C, tìm các mối liên hệ để tìm tọa độ A và C.

Giải chi tiết

Gọi \(B\left( {b;3b - 4} \right),D\left( {d; - d + 6} \right)\)

Gọi I là trung điểm của BD \( \Rightarrow I\left( {\frac{{b + d}}{2};\frac{{3b - d + 2}}{2}} \right)\).

Vì ABCD là hình thoi nên I cũng là trung điểm của AC \( \Rightarrow I \in {d_3} \Rightarrow \frac{{b + d}}{2} = 3 \Leftrightarrow b + d = 6\,\,\,\left( 1 \right)\)

\(\overrightarrow {BD} = \left( {d - b; - d - 3b + 10} \right);{\overrightarrow u _{AC}}\left( {0;1} \right),\overrightarrow {BD} .{\overrightarrow u _{AC}} = 0 \Leftrightarrow - d - 3b + 10 = 0\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2\\d = 4\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {2;2} \right);D\left( {4;2} \right) \Leftrightarrow I\left( {3;2} \right)\)

Gọi \(A\left( {3;a} \right),C\left( {3;c} \right)\,\,\,\left( {a \ne c} \right)\), I là trung điểm của AC nên \(a + c = 4 \Rightarrow a = 4 - c\)

ABCD là hình thoi có \(\widehat {BAD} = {120^0} \Rightarrow \widehat {ABC} = {60^0} \Rightarrow \Delta ABC\) đều \( \Rightarrow AB = AC \Rightarrow A{B^2} = A{C^2}\)

\(\begin{array}{l}A{B^2} = {\left( { - 1} \right)^2} + {\left( {2 - a} \right)^2},A{C^2} = {\left( {c - a} \right)^2}\\\Rightarrow {\left( { - 1} \right)^2} + {\left( {2 - a} \right)^2} = {\left( {c - a} \right)^2} \Leftrightarrow {a^2} - 4a + 5 = {a^2} - 2ac + {c^2} \Leftrightarrow - 4a + 5 = - 2ac + {c^2}\\ \Leftrightarrow - 4\left( {4 - c} \right) + 5 = - 2\left( {4 - c} \right)c + {c^2}\\ \Leftrightarrow - 16 + 4c + 5 = - 8c + 2{c^2} + {c^2}\\ \Leftrightarrow 3{c^2} - 12c + 11 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = \frac{{6 - \sqrt 3 }}{3}\\c = \frac{{6 + \sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.