Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm \(I\left( {2;1} \right)\) và AC = 2BD.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm \(I\left( {2;1} \right)\) và AC = 2BD. Điểm \(M\left( {0 ;\frac{1}{3}} \right)\) thuộc đường thẳng AB, điểm \(N\left( {0;7} \right)\) thuộc đường thẳng CD. Tìm tọa độ đỉnh B biết B có hoành độ dương.
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
+) Xác định tọa độ điểm F là điểm đối xứng với N qua I, \(\left\{ \begin{array}{l}{x_F} = 2{x_I} - {x_N}\\{y_F} = 2{x_I} - {y_N}\end{array} \right.\)
+) Viết phương trình đường thẳng AB đi qua M và nhận \(\overrightarrow {MF} \) là 1 VTPT, tham số
hóa tọa độ điểm A và B (ẩn a và b).
+) Sử dụng tính chất của hình thoi \(IA \bot IB \Rightarrow \overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IB} = 0\) và giả thiết \(AC = 2BD \Rightarrow IA = 2IB \Rightarrow I{A^2} = 4I{B^2}\)
+) Giải hệ phương trình tìm a và b.
Gọi F là điểm đối xứng với N qua I \( \Rightarrow F\left( {2{x_I} - {x_N};2{y_I} - {y_N}} \right) = \left( {4; - 5} \right)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {MF} = \left( {4;\frac{{ - 16}}{3}} \right) = \frac{4}{3}\left( {3; - 4} \right)\)
Đường thẳng AB đi qua M và nhận \(\overrightarrow n \left( {4;3} \right)\) là 1 VTPT
\(\begin{array}{l} \Rightarrow pt\left( {AB} \right):4\left( {x - 0} \right) + 3\left( {y - \frac{1}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + 3y - 1 = 0\\A \in \left( {AB} \right) \Rightarrow A\left( {a;\frac{{1 - 4a}}{3}} \right);\,\,B \in \left( {AB} \right) \Rightarrow B\left( {b;\frac{{1 - 4b}}{3}} \right)\,\,\,\,\,\left( {DK:b > 0} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {IA} = \left( {a - 2;\frac{{ - 4a - 2}}{3}} \right);\overrightarrow {IB} = \left( {b - 2;\frac{{ - 4b - 2}}{3}} \right)\\+ )\,\,\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IB} = 0 \Rightarrow \left( {a - 2} \right)\left( {b - 2} \right) + \frac{{\left( {4a + 2} \right)\left( {4b + 2} \right)}}{9} = 0 \Leftrightarrow 9ab - 18a - 18b + 36 + 16ab + 8a + 8b + 4 = 0\\\Leftrightarrow 25ab - 10a - 10b + 40 = 0 \Leftrightarrow \left( {5a - 2} \right)\left( {5b - 2} \right) + 36 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\\ + )\,\,IA = 2IB \Rightarrow I{A^2} = 4I{B^2} \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {\frac{{4a + 2}}{3}} \right)^2} = 4{\left( {b - 2} \right)^2} + 4{\left( {\frac{{4b + 2}}{3}} \right)^2}\\\Leftrightarrow 9{a^2} - 36a + 36 + 16{a^2} + 16a + 4 = 36{b^2} - 144b + 144 + 64{b^2} + 64b + 16\\ \Leftrightarrow 25{a^2} - 20a + 40 = 100{b^2} - 80b + 160\\ \Leftrightarrow {\left( {5a - 2} \right)^2} + 36 = {\left( {10b - 4} \right)^2} + 144\\ \Leftrightarrow {\left( {5a - 2} \right)^2} - 4{\left( {5b - 2} \right)^2} = 108\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5a - 2\\y = 5b - 2\end{array} \right.\). Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy + 36 = 0\\{x^2} - 4{y^2} = 108\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{ - 36}}{x}\\{x^2} - 4{\left( {\frac{{ - 36}}{x}} \right)^2} = 108\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow {x^4} - 5184 = 108{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = 144 \Leftrightarrow x = \pm 12\)
Với \(x = 12 \Rightarrow y = - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5a - 2 = 12\\5b - 2 = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{14}}{5}\\b = - \frac{1}{5}\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
Với \(x = - 12 \Rightarrow y = 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}5a - 2 = - 12\\5b - 2 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {1; - 1} \right)\)
Vậy \(B\left( {1; - 1} \right)\)
Đáp án cần chọn là: B
Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
