Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng

Câu hỏi số 226878:

Vận dụng cao

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng \(d:2x + y + 5 = 0\) và \(A\left( { - 4;8} \right)\). Gọi M là điểm đối xứng của B qua C, N là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng MD. Tìm tọa độ điểm B biết \(N\left( {5; - 4} \right)\).

A. \(B\left( { - 4; - 7} \right)\)

B. \(B\left( { - 7; - 4} \right)\)

C. \(B\left( {4;7} \right)\)

D. \(\left( {7;4} \right)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:226878

Phương pháp giải

+) Tham số hóa tọa độ điểm \(C\left( {c; - 2c - 5} \right)\)

+) Suy ra tọa độ trung điểm I của AC theo c \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_C}}}{2}\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_C}}}{2}\end{array} \right.\)

+) Chứng minh AI = NI \( \Rightarrow \) giá trị của c \( \Rightarrow \) tọa độ điểm C.

+) Chứng minh B đối xứng với N qua AC, tìm tọa độ điểm B.

Giải chi tiết

Gọi \(C\left( {c; - 2c - 5} \right)\)

Gọi I là tâm hình chữ nhật ABCD ta có I là trung điểm của AC nên \(I\left( {\frac{{c - 4}}{2};\frac{{ - 2c + 3}}{2}} \right)\)

Mặt khác \(\Delta BND\) vuông tại N \( \Rightarrow IN = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}AC = IA\)

Ta có \(A{I^2} = N{I^2} = {\left( {\frac{{c - 4}}{2} + 4} \right)^2} + {\left( {\frac{{ - 2c + 3}}{2} - 8} \right)^2} = {\left( {\frac{{c - 4}}{2} - 5} \right)^2} + {\left( {\frac{{ - 2c + 3}}{2} + 4} \right)^2}\)

\(\begin{array}{l}\Leftrightarrow {\left( {\frac{{c + 4}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{ - 2c - 13}}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{{c - 14}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{ - 2c + 11}}{2}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {c^2} + 8c + 16 + 4{c^2} + 52c + 169 = {c^2} - 28c + 196 + 4{c^2} - 44c + 121\\ \Leftrightarrow 132c = 132 \Leftrightarrow c = 1 \Rightarrow C\left( {1; - 7} \right)\end{array}\)

Ta có CM = AD và CM // AD nên ADMC là hình bình hành \( \Rightarrow AC//DM\) . C là trung điểm của BM \( \Rightarrow \) K là trung điểm của BN. Mà \(DM \bot BN \Rightarrow BN \bot AC\). Do đó B đối xứng với N qua AC.

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng BN đi qua N và nhận \(\overrightarrow {AC} = \left( {5; - 15} \right) = 5\left( {1; - 3} \right)\) là 1 VTPT nên có PT :

\(1\left( {x - 5} \right) - 3\left( {y + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 3y - 17 = 0\)

Đường thẳng AC đi qua A và vuông góc với BN nên pt(AC) có dạng \(3x + y + c = 0\)

\(A \in AC \Rightarrow 3.\left( { - 4} \right) + 8 + c = 0 \Leftrightarrow c = 4 \Rightarrow pt\left( {AC} \right):3x + y + 4 = 0\)

Gọi \(K = AC \cap BN \Rightarrow \) Tọa độ của K là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y + 4 = 0\\x - 3y - 17 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y = - \frac{{11}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow K\left( {\frac{1}{2}; - \frac{{11}}{2}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 2{x_K} - {x_N} = 1 - 5 = - 4\\{y_B} = 2{y_K} - {y_N} = - 11 + 4 = - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow B\left( { - 4; - 7} \right)\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.