Lập phương trình cạnh BC của hình vuông ABCD biết một đỉnh \(A\left( { - 4;5} \right)\) và một

Câu hỏi số 226882:

Nhận biết

Lập phương trình cạnh BC của hình vuông ABCD biết một đỉnh \(A\left( { - 4;5} \right)\) và một đường chéo có phương trình \(7x - y + 8 = 0\).

A. \(3x + 4y – 7 = 0\) hoặc \(4x – 3y – 24 = 0\)

B. \(3x – 4y – 24 = 0\) hoặc \(4x + 3y + 7 = 0\)

C. \(3x + 4y + 7 = 0\) hoặc \(4x + 3y + 24 = 0\)

D. \( 3x – 4y + 7 = 0\) hoặc \(4x + 3y – 24 = 0\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:226882

Phương pháp giải

+) Viết phương trình AC đi qua A và vuông góc với BD.

+) Tìm tọa độ tâm I của hình vuông ABCD, tìm tọa độ điểm C.

+) Tham số hóa tọa độ điểm \(B\left( {b;7b + 8} \right)\), sử dụng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CB} = 0 \Rightarrow \) giá trị của b.

+) Viết phương trình đường thẳng BC đi qua B và nhận \(\overrightarrow {BC} \) là 1 VTCP.

Giải chi tiết

Ta thấy A không thuộc đường chéo có phương trình \(7x - y + 8 = 0\) nên pt đường chéo BD: \(7x - y + 8 = 0\)

\(AC \bot BD \Rightarrow pt\left( {AC} \right)\) có dạng \(x + 7y + c = 0\)

\(A \in AC \Rightarrow - 4 + 7.5 + c = 0 \Leftrightarrow c = - 31 \Rightarrow pt\left( {AC} \right):x + 7y - 31 = 0\)

Gọi \(I = AC \cap BD \Rightarrow \) Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}7x - y + 8 = 0\\x + 7y - 31 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{2}\\y = \frac{9}{2}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 2{x_I} - {x_A} = 3\\{y_C} = 2{y_I} - {y_A} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow C\left( {3;4} \right)\)

\(B \in BD \Rightarrow B\left( {b;7b + 8} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {b + 4;7b + 3} \right),\overrightarrow {CB} = \left( {b - 3;7b + 4} \right)\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {CB} \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CB} = 0 \Leftrightarrow \left( {b + 4} \right)\left( {b - 3} \right) + \left( {7b + 3} \right)\left( {7b + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {b^2} + b - 12 + 49{b^2} + 49b + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = - 1\\b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}B\left( { - 1;1} \right)\\B\left( {0;8} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

TH1: \(B\left( { - 1;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {CB} = \left( { - 4; - 3} \right) \Rightarrow \) BC đi qua B(-1;1) và nhận \(\overrightarrow n \left( {3; - 4} \right)\) là 1 VTPT

\( \Rightarrow pt\left( {BC} \right):3\left( {x + 1} \right) - 4\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - 4y + 7 = 0\)

TH2: \(B\left( {0;8} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {CB} = \left( { - 3;4} \right) \Rightarrow BC\) đi qua B(0;8) và nhận \(\overrightarrow n \left( {4;3} \right)\) là 1 VTPT

\( \Rightarrow pt\left( {BC} \right):4\left( {x - 0} \right) + 3\left( {y - 8} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + 3y - 24 = 0\)

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.