Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = (x - 4){e^x}\) trục tung và trục

Câu hỏi số 227133:

Thông hiểu

Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = (x - 4){e^x}\) trục tung và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay khi quay hình H xung quanh trục Ox.

A. \(V = \frac{{{e^8} - 39}}{4}\)

B. \(V = \frac{{{e^8} - 41}}{4}\)

C. \(V = \frac{{\left( {{e^8} - 39} \right)\pi }}{4}\)

D. \(V = \frac{{\left( {{e^8} - 41} \right)\pi }}{4}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:227133

Phương pháp giải

Hình phẳng (H) được giới hạn bởi các đồ thị hàm số: \(y = {f_1}\left( x \right);\,\,\,y = {f_2}\left( x \right)\); \(x = a;\,\,x = b\) với \(a < b\). Khi đó thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi qua (H) quanh trục Ox được xác định bởi công thức:\(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {f_1^2\left( x \right) - f_2^2\left( x \right)} \right|} dx\).

Sau đó sử dụng các phương pháp tính tích phân hoặc bấm máy tính để tính V.

Giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm \(\left( {x - 4} \right){e^x} = 0 \Leftrightarrow x = 4\).

Thể tích khối tròn xoay cần tìm là: \(V = \pi \int\limits_0^4 {{{(x - 4)}^2}} {e^{2x}}dx\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {\left( {x - 4} \right)^2}\\dv = {e^{2x}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2\left( {x - 4} \right)dx\\v = \frac{1}{2}{e^{2x}}\end{array} \right. \Rightarrow V = \pi \left[ {\left. {\frac{1}{2}{{\left( {x - 4} \right)}^2}{e^{2x}}} \right|_0^4 - \int\limits_0^4 {\left( {x - 4} \right){e^{2x}}dx} } \right] = \pi \left[ { - 8 - {I_1}} \right]\)

Tính \({I_1} = \int\limits_0^4 {\left( {x - 4} \right){e^{2x}}} dx\)

\(\left\{ \begin{array}{l}u = (x - 4)\\dv = {e^{2x}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = \frac{1}{2}{e^{2x}}\end{array} \right. \Rightarrow {I_1} = \frac{1}{2}(x - 4){e^{2x}}\left| {_0^4} \right. - \frac{1}{2}\int\limits_0^4 {{e^{2x}}} dx\)

\(\begin{array}{l}{I_1} = - 2 - \frac{1}{4}{e^{2x}}\left| {_0^4} \right. = 2 - \frac{1}{4}{e^8} + \frac{1}{4} = \frac{9}{4} - \frac{1}{4}{e^8}\\ \Rightarrow V = \pi \left[ { - 8 - \frac{9}{4} + \frac{1}{4}{e^8}} \right] = \frac{\pi }{4}\left( {{e^8} - 41} \right)\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.