Cho hình chóp S.ABCD có \(\widehat {ABC} = \widehat {ADC} = {90^0}\), cạnh bên SA vuông góc với (ABCD), góc

Câu hỏi số 227150:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có \(\widehat {ABC} = \widehat {ADC} = {90^0}\), cạnh bên SA vuông góc với (ABCD), góc tạo bởi SC và đáy ABCD bằng \({60^0}\), CD = a và tam giác ADC có diện tích bằng \(\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\). Diện tích mặt cầu \({S_{mc}}\) ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là:

A. \({S_{mc}} = 16\pi {a^2}.\)

B. \({S_{mc}} = 4\pi {a^2}.\)

C. \({S_{mc}} = 32\pi {a^2}.\)

D. \({S_{mc}} = 8\pi {a^2}.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:227150

Phương pháp giải

Gọi O, I lần lượt là trung điểm của AC, SC.

Do tam giác ABC và tam giác ADC vuông lần lượt tại B, D nên tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD là O.

Dễ dàng chứng minh được I là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Ta xác định độ dài bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD và thay vào công thức tính diện tích mặt cầu:\({S_{mc}} = 4\pi {R^2}\)

Giải chi tiết

\(\left\{ \begin{array}{l}
SC \cap (ABCD) = C\\
\left( {\widehat {SC,(ABCD)}} \right) = {60^0}
\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {SCA} = {60^0}\)

Tam giác ABC và tam giác ADC vuông lần lượt tại B, D, gọi O là trung điểm của AC => O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD (1)

IO là đường trung bình của tam giác SAC => IO // SA.

Mà \(SA \bot (ABCD) \Rightarrow IO \bot (ABCD)\) (2)

Từ (1), (2) suy ra IA = IB = IC = ID. (3)

Do tam giác SAC vuông tại A, I là trung điểm SC \( \Rightarrow IS = IC = IA\) (4)

Từ (3), (4) suy ra I là tâm đường trong ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Ta có \({S_{ACD}} = \dfrac{1}{2}AD.CD = \dfrac{1}{2}AD.a = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow CD = a\sqrt 3 \)

Áp dụng định lý Pytago: \(A{C^2} = A{D^2} + C{D^2} = {\left( {a\sqrt 3 } \right)^2} + {a^2} = 4{a^2} \Rightarrow AC = 2a.\)

Tam giác SAC vuông tại A, \(\widehat {SCA} = {60^0}\) \( \Rightarrow SC = \dfrac{{AC}}{{\cos C}} = \dfrac{{2a}}{{\cos {{60}^0}}} = \dfrac{{2a}}{{\dfrac{1}{2}}} = 4a\)

Diện tích mặt cầu: \({S_{mc}} = 4\pi {R^2} = 4\pi {\left( {\dfrac{{SC}}{2}} \right)^2} = 4\pi {(2a)^2} = 16\pi {a^2}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.