Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, BC = a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, đường thẳng SC tạo với các mặt phẳng (SAB) và (ABCD) các góc đều bằng \({30^0}.\) Tính diện tích S của hình chữ nhật ABCD.

Câu 229218: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, BC = a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, đường thẳng SC tạo với các mặt phẳng (SAB) và (ABCD) các góc đều bằng \({30^0}.\) Tính diện tích S của hình chữ nhật ABCD.

A. \(S = {a^2}\sqrt 3 .\)

B. \(S = 2{a^2}.\)

C. \(S = {a^2}\sqrt 2 .\)

D. \(S = {a^2}.\)

Câu hỏi : 229218

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng – hệ thức lượng trong tam giác vuông để giải quyết yêu cầu của bài toán

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \,\,AC\) là hình chiếu vuông góc của SC trên (ABCD)

\( \Rightarrow \) Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là \(\widehat {SCA} = {30^0}.\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SA\\BC \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow \,\,BC \bot \left( {SAB} \right)\,\, \Rightarrow \,\,SB\) là hình chiếu vuông góc của SC trên (SAB).

\( \Rightarrow \) Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là \(\widehat {BSC} = {30^0}.\)

Đặt \(AB = x\,\, \Rightarrow \,\,AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{x^2} + {a^2}} \,\, \Rightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}SA = AC.\tan \widehat {SCA} = \sqrt {\frac{{{x^2} + {a^2}}}{3}} \\SB = \frac{{BC}}{{\tan \widehat {BSC}}} = a\sqrt 3\end{array} \right.\)

Tam giác SAB vuông tại \(A\,\, \Rightarrow \,\,S{A^2} + A{B^2} = S{B^2}\)\( \Leftrightarrow \,\,\frac{{{x^2} + {a^2}}}{3} + {x^2} = 3{a^2} \Leftrightarrow \frac{4}{3}{x^2} = \frac{8}{3}{a^2} \Leftrightarrow x = a\sqrt 2 .\)

Vậy diện tích hình chữ nhật ABCD là \(S = AB\,\, \times \,BC = {a^2}\sqrt 2 .\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.