Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và AD. Biết tam giác SAB đều và SH vuông góc với đáy. Gọi \(\alpha \) là số đo góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SHD). Đẳng thức nào sau đây là đúng ?
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Áp dụng phương pháp tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng – hệ thức lượng trong tam giác vuông để giải quyết yêu cầu của bài toán
Nối \(CK \cap HD = I\). Ta chứng minh được \(CK \bot HD\)
Do đó \(\widehat {\left( {SC;\left( {SHD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC;SI} \right)} = \widehat {CSI} = \alpha \in \left( {{0^0};{{90}^0}} \right)\).
Có \({S_{\Delta HCD}} = \frac{1}{2}CI.HD = {S_{ABCD}} - 2.{S_{\Delta BHC}} = {a^2} - 2.\frac{1}{2}a.\frac{a}{2} = \frac{{{a^2}}}{2}\)
\( \Rightarrow CI = \frac{{2{S_{\Delta HCD}}}}{{HD}} = \frac{{2{S_{\Delta HCD}}}}{{\sqrt {A{D^2} + A{H^2}} }} = \frac{{{a^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} }} = \frac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\). \(SC = \sqrt {S{H^2} + H{C^2}} = \sqrt {S{H^2} + B{C^2} + B{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = a\sqrt 2 \)Xét tam giác SIC vuông tại I ta có: \(\sin \alpha = \frac{{IC}}{{SC}} = \frac{{2a}}{{\sqrt 5 }}:a\sqrt 2 = \frac{{\sqrt {10} }}{5}\).
Do đó \({\cos ^2}\alpha + 2{\sin ^2}\alpha = 1 + {\sin ^2}\alpha = 1 + \frac{{10}}{{25}} = \frac{7}{5}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
