Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và AD. Biết tam giác SAB đều và SH vuông góc với đáy. Gọi \(\alpha \) là số đo góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SHD). Đẳng thức nào sau đây là đúng ?
Câu 229217: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và AD. Biết tam giác SAB đều và SH vuông góc với đáy. Gọi \(\alpha \) là số đo góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SHD). Đẳng thức nào sau đây là đúng ?
A. \({\cos ^2}\alpha = \frac{2}{5}\)
B. \(\sin 2\alpha = \frac{{\sqrt 6 }}{5}\)
C. \(\cos 2\alpha = -\frac{1}{5}\)
D. \({\cos ^2}\alpha + 2{\sin ^2}\alpha = \frac{7}{5}\)
Áp dụng phương pháp tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng – hệ thức lượng trong tam giác vuông để giải quyết yêu cầu của bài toán
-
Đáp án : D(7) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Nối \(CK \cap HD = I\). Ta chứng minh được \(CK \bot HD\)
Do đó \(\widehat {\left( {SC;\left( {SHD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC;SI} \right)} = \widehat {CSI} = \alpha \in \left( {{0^0};{{90}^0}} \right)\).
Có \({S_{\Delta HCD}} = \frac{1}{2}CI.HD = {S_{ABCD}} - 2.{S_{\Delta BHC}} = {a^2} - 2.\frac{1}{2}a.\frac{a}{2} = \frac{{{a^2}}}{2}\)
\( \Rightarrow CI = \frac{{2{S_{\Delta HCD}}}}{{HD}} = \frac{{2{S_{\Delta HCD}}}}{{\sqrt {A{D^2} + A{H^2}} }} = \frac{{{a^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} }} = \frac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\). \(SC = \sqrt {S{H^2} + H{C^2}} = \sqrt {S{H^2} + B{C^2} + B{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = a\sqrt 2 \)Xét tam giác SIC vuông tại I ta có: \(\sin \alpha = \frac{{IC}}{{SC}} = \frac{{2a}}{{\sqrt 5 }}:a\sqrt 2 = \frac{{\sqrt {10} }}{5}\).
Do đó \({\cos ^2}\alpha + 2{\sin ^2}\alpha = 1 + {\sin ^2}\alpha = 1 + \frac{{10}}{{25}} = \frac{7}{5}\).
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
