Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với AB = AC = a. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMC. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng \({60^0}.\) Tính độ dài SB.

Câu 229219: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với AB = AC = a. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMC. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng \({60^0}.\) Tính độ dài SB.

A. \(\frac{{a\sqrt {10} }}{2}.\)

B. \(\frac{{a\sqrt {30} }}{6}.\)

C. \(\frac{{a\sqrt {10} }}{4}.\)

D. \(\frac{{a\sqrt {30} }}{4}.\)

Câu hỏi : 229219

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng – hệ thức lượng trong tam giác vuông để giải quyết yêu cầu của bài toán

Đáp án : A
(6) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Gọi I là trung điểm của \(BC \Rightarrow AI\) là đường trung trực của BC.

Gọi K là trung điểm của MB, vẽ đường thẳng qua K và vuông góc với MB cắt AI tại H.

Suy ra KH là đường trung trực của MB và H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MBC. Do đó \(SH \bot \left( {ABCD} \right).\)

Ta có HB là hình chiếu vuông góc của SB trên mp(ABC).

Suy ra \(\widehat {\left( {SB;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SB;BH} \right)} = \widehat {SBH} = {60^0}.\)

Tam giác AKH vuông cân tại K\( \Rightarrow \,\,HK = AK = \frac{3}{4}AB = \frac{{3a}}{4}.\)

Tam giác BKH vuông tại K có \(BH = \sqrt {B{K^2} + H{K^2}} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{{16}} + \frac{{9{a^2}}}{{16}}} = \frac{{a\sqrt {10} }}{4}.\)

Tam giác SBH vuông tại H, có \(\cos \widehat {SBH} = \frac{{BH}}{{SB}} \Rightarrow SB = \frac{{a\sqrt {10} }}{4}:\cos {60^0} = \frac{{a\sqrt {10} }}{2}.\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.