Kết luận nào sau đây đúng về số nghiệm của hệ phương trình \(\left\{

Câu hỏi số 229239:

Vận dụng cao

Kết luận nào sau đây đúng về số nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5{x^2} - 3y = x - 3xy}\\{{x^3} - {x^2} = {y^2} - 3{y^3}}\end{array}} \right.\)?

Hệ phương trình vô nghiệm.

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt.

D. Hệ phương trình có ba nghiệm phân biệt.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:229239

Phương pháp giải

Từ hai phương trình đã cho ta làm xuất hiện phương trình hệ quả là phương trình tích.

Giải chi tiết

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5{x^2} - 3y = x - 3xy}\\{{x^3} - {x^2} = {y^2} - 3{y^3}}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5{x^2} + 3xy = x + 3y}\\{{x^2} + {y^2} = {x^3} + 3{y^3}}\end{array}} \right.\)

TH1: x + 3y = 0 => x = -3y, thay vào hệ ta được : x = y = 0

TH2: x²+ y² = 0 => x = y = 0 thỏa mãn hệ.

TH3: \(x+3y\ne 0,\,\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ne 0\). Khi đó ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}\left( {5{x^2} + 3xy} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = \left( {x + 3y} \right)\left( {{x^3} + 3{y^3}} \right) \Leftrightarrow 5{x^4} + 5{x^2}{y^2} + 3{x^3}y + 3x{y^3} = {x^4} + 3x{y^3} + 3{x^3}y + 9{y^4}\\ \Leftrightarrow 4{x^4} + 5{x^2}{y^2} - {\rm{ }}9{y^4} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - {y^2}} \right)\left( {4{x^2} + 9{y^2}} \right) = 0\end{array}\)

+) 4x² + 9y² = 0 (vô nghiệm vì x = y = 0 không thỏa mãn đk)

\(+)\,\,{{x}^{2}}-{{y}^{2}}=0\Leftrightarrow y=\pm x\).

Với \(x=y\) ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5{x^2} - 3x = x - 3{x^2}}\\{{x^3} - {x^2} = {x^2} - 3{x^3}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8{x^2} = 4x\\4{x^3} = 2{x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = y = \frac{1}{2}\,\,\left( {tm} \right)\)

Với \(x=-y\) ta có hệ phương trình : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5{x^2} + 3x = x + 3{x^2}}\\{{x^3} - {x^2} = {x^2} + 3{x^3}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} = - 2x\\2{x^3} = - 2{x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\)

Kết luận: Hệ có tập nghiệm là: \(S=\left\{ \left( 0;\,0 \right),\,\,\left( \frac{1}{2};\,\frac{1}{2} \right),\,\,\left( -1;\,1 \right) \right\}\)

Chọn D.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.