Cho hình chóp tam gics đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh \(SA=\frac{2a\sqrt{3}}{3}\)

Câu hỏi số 230413:

Vận dụng

Cho hình chóp tam gics đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh \(SA=\frac{2a\sqrt{3}}{3}\) . Gọi Đ là điểm đối xứng của B qua C. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD

A. \(R=\frac{a\sqrt{39}}{7}\)

B. \(R=\frac{a\sqrt{35}}{7}\)

C. \(R=\frac{a\sqrt{37}}{6}\)

D. \(R=\frac{a\sqrt{39}}{7}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:230413

Phương pháp giải

+Xác định trục đường tròn ngoại tiếp của mặt phẳng đáy

+Xác định trục đường tròn ngoại tiếp của một mặt bên (Chọn mặt là tam giác đặc biệt)

+Tìm tâm của mặt cầu ngoại tiếp là giao của hai đường thẳng vừa xác định, từ đó tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Giải chi tiết

Do D đối xứng với C qua B nên có BC=DC=AC suy ra tam giác ABD là tam giác vuông tại A.

Kẻ đường thẳng d qua C vuông góc với đáy, đường thẳng này là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy ABD.

Tam giác SAB cân tại S, gọi M là trung điểm AB, H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB \(\Rightarrow H\in AM;SM=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{M}^{2}}}=\frac{a\sqrt{13}}{2\sqrt{3}}\)

\(SH=\frac{AB.SA.SB}{4.{{S}_{SAB}}}=\frac{{{\left( \frac{2a}{\sqrt{3}} \right)}^{2}}.a}{4.\frac{1}{2}.a.AM}=\frac{4a}{\sqrt{39}}\)

Trong (SAC) dựng \(HI\bot SM\left( I\in d \right)(1)\) , mà \(\left\{ \begin{align} & AB\bot SM \\ & AB\bot MC \\ \end{align} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SMC \right)\Rightarrow AB\bot HI(2)\)

Từ (1), (2) suy ra\(HI\bot \left( SAB \right)\) , suy ra I là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chóp S.ABD

Gọi \(Q=MS\cap CI\), xét tam giác SCM có

\(\frac{SM}{QM}=\frac{MG}{MC}=\frac{1}{3}\Rightarrow QM=3SM=3.\frac{a\sqrt{13}}{2\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{39}}{2}\)

\(\Rightarrow QH=QM-MS+HS=\frac{a\sqrt{39}}{2}-\frac{a\sqrt{13}}{2\sqrt{3}}+\frac{4a}{\sqrt{39}}=\frac{17a}{\sqrt{39}}\)

\(QC=\sqrt{Q{{M}^{2}}-M{{C}^{2}}}=3a\)

Xét:\(\Delta QHI\sim \Delta QCM\Rightarrow \frac{HI}{CM}=\frac{HQ}{QC}\Rightarrow HI=\frac{HQ.CM}{QC}=\frac{17a}{6\sqrt{13}}\) \(\Rightarrow R=SI=\sqrt{H{{I}^{2}}+H{{S}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{17}}{6\sqrt{13}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{4a}{\sqrt{39}} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{37}}{6}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.