Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(C\). Gọi \(H\) là trung điểm

Câu hỏi số 230634:

Vận dụng cao

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(C\). Gọi \(H\) là trung điểm \(AB\). Biết rằng \(SH\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) và \(AB=SH=a.\) Tính cosin của góc \(\alpha \) tọa bởi hai mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) và \(\left( SAC \right)\).

\(\cos \alpha =\frac{1}{3}.\)

\(\cos \alpha =\frac{\sqrt{2}}{3}.\)

\(\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}.\)

D. \(\cos \alpha =\frac{2}{3}.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:230634

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Giải chi tiết

Ta có \(SH\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SH\bot CH\). (1)

Tam giác ABC cân tại C nên \(CH\bot AB\). (2)

Từ (1) và (2), suy ra \(CH\bot \left( SAB \right)\).

Gọi I là trung điểm \(AC\)\(\Rightarrow \,\,HI//BC\xrightarrow{BC\,\bot \,\,AC}HI\bot AC\). (3)

Mặt khác \(AC\bot SH\) (do \(SH\bot \left( ABC \right)\)). (4)

Từ (3) và (4), suy ra \(AC\bot \left( SHI \right)\).

Kẻ \(HK\bot SI\text{ }\,\left( K\in SI \right)\). (5)

Từ \(AC\bot \left( SHI \right)\Rightarrow AC\bot HK\). (6).

Từ (5) và (6), suy ra \(HK\bot \left( SAC \right)\).

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}HK \bot \left( {SAC} \right)\\HC \bot \left( {SAB} \right)\end{array} \right.\) nên góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SAC \right)\) và \(\left( SAB \right)\) bằng góc giữa hai đường thẳng \(HK\) và \(HC\).

Ta có \(HK\bot \left( SAC \right)\Rightarrow HK\bot CK\Rightarrow \Delta CHK\( vuông tại K.

Có \(CH=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}\); \(\frac{1}{H{{K}^{2}}}=\frac{1}{S{{H}^{2}}}+\frac{1}{H{{I}^{2}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( \frac{1}{2}.\frac{a}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}}\Rightarrow HK=\frac{a}{3}\).

Do đó \(\cos \widehat{CHK}=\frac{HK}{CH}=\frac{\frac{a}{3}}{\frac{a}{2}}=\frac{2}{3}.\)

Chọn D.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.