Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a.\) Cạnh bên \(SA=x\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABCD \right).\) Xác định \(x\) để hai mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) và \(\left( SCD \right)\) tạo với nhau một góc \({{60}^{0}}.\)

Câu 230635:

\(x=\frac{3a}{2}.\)

\(x=\frac{a}{2}.\)

\(x=a.\)

D. \(x=2a.\)

Câu hỏi : 230635

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Đáp án : C
(3) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Từ A kẻ AH vuông góc với \(SB\,\,\,\,\left( H\in SB \right).\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot BC\\AB \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\) mà \(AH\bot SB\) suy ra \(AH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AH\bot SC\)

Từ A kẻ AK vuông góc với \(SD\,\,\,\left( K\in SD \right),\) tương tự, chứng minh được \(SK\bot \left( SCD \right)\Rightarrow AK\bot SC\)

Khi đó \(SC\bot \left( AHK \right)\) suy ra

\(\widehat{\left( \left( SBC \right);\left( SCD \right) \right)}=\widehat{\left( AH;AK \right)}=\widehat{HAK}={{60}^{0}}.\)

Lại có \(\Delta \,SAB=\Delta \,SAD\,\,\left( c.g.c \right)\Rightarrow AH=AK\) mà \(\widehat{HAK}={{60}^{0}}\) suy ra tam giác AHK đều.

Tam giác SAB vuông tại A có \(\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{A{{B}^{2}}}=\frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\frac{xa}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}}=AK=HK\)

Suy ra \(SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}-\frac{{{x}^{2}}{{a}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}}=\frac{{{x}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}}\Rightarrow \frac{SH}{SB}=\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}.\)

Tương tự ta chứng minh được \(\frac{SK}{SC}=\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}\)

\(\Rightarrow HK\)//\(BD\) suy ra \(\frac{SH}{SB}=\frac{HK}{BD}\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}=\frac{xa}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}.a\sqrt{2}}\Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}={{x}^{2}}+{{a}^{2}}\Rightarrow x=a.\)

Chọn C.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.