Cho ba số \(a,b,c\)nguyên dương, nguyên tố cùng nhau và thỏa mãn điều kiện

Câu hỏi số 231328:

Vận dụng cao

Cho ba số \(a,b,c\)nguyên dương, nguyên tố cùng nhau và thỏa mãn điều kiện \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\). Chứng minh \(a+b\) là số chính phương

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:231328

Giải chi tiết

Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}=\frac{1}{c}\Leftrightarrow c\left( a+b \right)=ab\Leftrightarrow ab-ac-bc=0\)

\(\Leftrightarrow ab-ac-bc+{{c}^{2}}={{c}^{2}}\Leftrightarrow \left( a-c \right)\left( b-c \right)={{c}^{2}}\)

Nếu \(d\) là ước nguyên dương của \(a-c\) và \(b-c\) thì \({{c}^{2}}\vdots {{d}^{2}}\Rightarrow c\vdots d\)

Suy ra \(d\) là ước chung của \(a,b,c\). Mà \(a,b,c\) nguyên tố cùng nhau từng đôi một nên \(d=1\)

Nên \(a-c\) và \(b-c\) không có ước lớn hơn 1, do đó \(\left( a-c \right)\left( b-c \right)\) là số chính phương và \(a-c\), \(b-c\) là hai số chính phương khác nhau.

Đặt \(\left\{ \begin{align} & a-c={{k}^{2}} \\ & b-c={{m}^{2}} \\\end{align} \right.\left( k,m\in N;k\ne m \right)\Rightarrow {{k}^{2}}{{m}^{2}}={{c}^{2}}\Leftrightarrow c=km\)

\(\Rightarrow a+b=\left( a-c \right)+\left( b-c \right)+2c={{k}^{2}}+{{m}^{2}}+2km={{\left( k+m \right)}^{2}}\)

Vậy \(a+b\) là số chính phương

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link