Cho đường tròn tâm \(O\) và dây cung \(AB\), từ một điểm \(M\)bất kì trên đường tròn (\(M\)
Cho đường tròn tâm \(O\) và dây cung \(AB\), từ một điểm \(M\)bất kì trên đường tròn (\(M\) khác \(A\) và \(B\)), kẻ \(MH\bot AB\) tại \(H\). Gọi \(E,F\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(H\) trên \(MA,MB\). Qua \(M\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(EF\), cắt dây cung \(AB\) tại \(D\). Chứng minh rằng \(\frac{M{{A}^{2}}}{M{{B}^{2}}}=\frac{AH}{BD}.\frac{AD}{BH}\)
Quảng cáo
Gọi \(E';F'\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(D\) trên \(MA,MB\)
Ta có: \(\left\{ \begin{align} & \frac{AH}{BD}=\frac{{{S}_{\vartriangle AMH}}}{{{S}_{\vartriangle MBD}}}=\frac{HE.MA}{DF'.MB} \\ & \frac{AD}{BH}=\frac{{{S}_{\vartriangle MAD}}}{{{S}_{\vartriangle MBH}}}=\frac{DE'.MA}{HF.MB} \\\end{align} \right.\Rightarrow \frac{AH}{BD}.\frac{AH}{BH}=\frac{M{{A}^{2}}}{M{{B}^{2}}}.\frac{HE.DE'}{DF'.HF'}\text{ }\left( 1 \right)\)
Ta có: \(\widehat{EHF}=\widehat{E'DF'}\) ( cùng bù góc \(\widehat{AMB}\))
Và \(\widehat{HFE}=\widehat{DMF'}\) (hai góc có cạnh tương ứng vuông góc)
Mặt khác \(\widehat{DMF'}=\widehat{DE'F'}\) (cùng chắn cung \(\overset\frown{DF'}\))
\(\Rightarrow \widehat{HFE}=\widehat{DE'F'}\Rightarrow \vartriangle HEF\sim \vartriangle DF'E'\)
\(\Rightarrow \frac{HE}{HF}=\frac{DF'}{DE'}\Rightarrow HE.DE'=HF.DF'\Rightarrow \frac{HE.DE'}{HF.DF'}=1\text{ }\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta được: \(\frac{M{{A}^{2}}}{M{{B}^{2}}}=\frac{AH}{BD}.\frac{AD}{BH}\)
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
