Cho đường tròn tâm \(O\) và dây cung \(AB\), từ một điểm \(M\)bất kì trên đường tròn (\(M\)

Câu hỏi số 231329:

Vận dụng

Cho đường tròn tâm \(O\) và dây cung \(AB\), từ một điểm \(M\)bất kì trên đường tròn (\(M\) khác \(A\) và \(B\)), kẻ \(MH\bot AB\) tại \(H\). Gọi \(E,F\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(H\) trên \(MA,MB\). Qua \(M\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(EF\), cắt dây cung \(AB\) tại \(D\). Chứng minh rằng \(\frac{M{{A}^{2}}}{M{{B}^{2}}}=\frac{AH}{BD}.\frac{AD}{BH}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:231329

Giải chi tiết

Gọi \(E';F'\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(D\) trên \(MA,MB\)

Ta có: \(\left\{ \begin{align} & \frac{AH}{BD}=\frac{{{S}_{\vartriangle AMH}}}{{{S}_{\vartriangle MBD}}}=\frac{HE.MA}{DF'.MB} \\ & \frac{AD}{BH}=\frac{{{S}_{\vartriangle MAD}}}{{{S}_{\vartriangle MBH}}}=\frac{DE'.MA}{HF.MB} \\\end{align} \right.\Rightarrow \frac{AH}{BD}.\frac{AH}{BH}=\frac{M{{A}^{2}}}{M{{B}^{2}}}.\frac{HE.DE'}{DF'.HF'}\text{ }\left( 1 \right)\)

Ta có: \(\widehat{EHF}=\widehat{E'DF'}\) ( cùng bù góc \(\widehat{AMB}\))

Và \(\widehat{HFE}=\widehat{DMF'}\) (hai góc có cạnh tương ứng vuông góc)

Mặt khác \(\widehat{DMF'}=\widehat{DE'F'}\) (cùng chắn cung \(\overset\frown{DF'}\))

\(\Rightarrow \widehat{HFE}=\widehat{DE'F'}\Rightarrow \vartriangle HEF\sim \vartriangle DF'E'\)

\(\Rightarrow \frac{HE}{HF}=\frac{DF'}{DE'}\Rightarrow HE.DE'=HF.DF'\Rightarrow \frac{HE.DE'}{HF.DF'}=1\text{ }\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta được: \(\frac{M{{A}^{2}}}{M{{B}^{2}}}=\frac{AH}{BD}.\frac{AD}{BH}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link