Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) , đường cao \(AH\). Gọi \(\left( O \right)\) là tâm đường tròn

Câu hỏi số 231330:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) , đường cao \(AH\). Gọi \(\left( O \right)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AHC\). Trên cung nhỏ \(AH\) của \(\left( O \right)\)lấy điểm \(M\) bất kì khác \(A\) và \(H\). Trên tiếp tuyến tại \(M\) của \(\left( O \right)\) lấy hai điểm \(D,E\) sao cho \(BD=BE=BA\). Đường thẳng \(BM\) cắt \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai \(N\)

a) Chứng minh rằng tứ giác \(BDNE\) nội tiếp được trong một đường tròn

b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(BDNE\) và đường tròn \(\left( O \right)\) tiếp xúc nhau

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:231330

Giải chi tiết

a) Vì \(AH\bot BC\Rightarrow \widehat{AHC}={{90}^{o}}\Rightarrow AC\) là đường kính

của đường tròn \(\left( O \right)\)

Mà \(\vartriangle ABC\) vuông tại \(A\) nên \(AB\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)

Xét \(\vartriangle BAM\) và \(\vartriangle BNA\) có:

\(\widehat{ABN}\): góc chung

\(\widehat{BAM}=\widehat{BNA}\left( =\frac{1}{2}\overset\frown{AM} \right)\)

\(\Rightarrow \vartriangle BAM\sim \vartriangle BNA\Rightarrow \frac{BM}{BA}=\frac{BA}{BN}\Rightarrow BN.BM=B{{A}^{2}}\)

Mặt khác \(BA=BD\Rightarrow BM.BN=B{{D}^{2}}\Rightarrow \frac{BM}{BD}=\frac{BD}{BN}\)

Xét \(\vartriangle BDM\) và \(\vartriangle BND\) có:

\(\frac{BM}{BD}=\frac{BD}{BN}\)

\(\widehat{DBN}\): góc chung

\(\Rightarrow \vartriangle BDM\sim \vartriangle BND\Rightarrow \widehat{BDM}=\widehat{BND}\)

Ta có: \(BD=BE\Rightarrow \vartriangle BDE\) cân tại \(B\Rightarrow \widehat{BDM}=\widehat{BED}\Rightarrow \widehat{BND}=\widehat{BED}\)

Suy ra tứ giác \(BDNE\) nội tiếp trong được một đường tròn

b) Gọi đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(BDNE\) là \(\left( O' \right)\)

Giả sử \(\left( O \right)\) và \(\left( O' \right)\) không tiếp xúc nhau. Vì \(\left( O \right)\) và \(\left( O' \right)\) có điểm chung \(N\) nên chúng có điểm chung thứ hai \(N'\) và \(BN'\) cắt \(DE\) tại điểm \(M'\) khác điểm \(M\)

Xét \(\vartriangle BDM'\) và \(\vartriangle BN'D\) có:

\(\widehat{DBN'}\): góc chung

\(\widehat{BN'D}=\widehat{BED}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(\overset\frown{BD}\) của \(\left( O' \right)\))

\(\Rightarrow \vartriangle BDM'\sim \vartriangle BN'D\Rightarrow \frac{BM'}{BD}=\frac{BD}{BN'}\Rightarrow BM'.BN'=B{{D}^{2}}\)

Ta có: \(BM.BN=B{{D}^{2}}\) nên \(BM'.BN'=BM.BN\Rightarrow \frac{BM}{BN'}=\frac{BM'}{BN}\)

Xét \(\vartriangle BMM'\) và \(\vartriangle BNN'\) có:

\(\widehat{NBN'}\): góc chung

\(\frac{BM}{BN'}=\frac{BM'}{BN}\)

\(\Rightarrow \vartriangle BMM'\sim \vartriangle BNN'\Rightarrow \widehat{BMM'}=\widehat{BNN'}\Rightarrow \widehat{BN'N}+\widehat{M'MN}={{180}^{o}}\)

Suy ra tứ giác \(M'MNN'\) nội tiếp đường tròn

Đường tròn ngoại tiếp \(M'MNN'\)và đường tròn \(\left( O \right)\)có chung nhau ba điểm \(M,N,N'\) nên chúng trùng nhau. Suy ra \(M'\) là điểm chung thứ hai của \(\left( O \right)\) và tiếp tuyến \(DE\) (vô lý)

Vậy giả sử sai

Nên đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(BDNE\) và đường tròn \(\left( O \right)\) tiếp xúc nhau

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link