Cho ba số thực \(x,y,z\)thỏa mãn điều kiện \(xy+yz+zx=4\). Chứng minh rằng:

Câu hỏi số 231698:

Thông hiểu

A. \({{x}^{4}}+{{y}^{4}}+{{z}^{4}}\ge 4\)

B. \({{x}^{4}}+{{y}^{4}}+{{z}^{4}}\ge \frac{16}{3}\)

C. \({{x}^{4}}+{{y}^{4}}+{{z}^{4}}\ge \frac{4}{3}\)

D. \({{x}^{4}}+{{y}^{4}}+{{z}^{4}}\ge \frac{23}{3}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:231698

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-cốp-ski:

Với 2 bộ số \((a,b,c)\)và \(\left( x,y,z \right)\)ta có: \({{\left( a\,x+b\,y+cz \right)}^{2}}\le \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)\)

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-cốp-ski:

Với 2 bộ số \((x,y,z)\)và \(\left( y,z,x \right)\)ta có: \({{\left( x.y+y.z+z.x \right)}^{2}}\le \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)\left( {{y}^{2}}+{{z}^{2}}+{{x}^{2}} \right)\)

\(\Leftrightarrow {{\left( x.y+y.z+z.x \right)}^{2}}\le {{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}^{2}}\)

Theo giả thiết \(xy+yz+zx=4\) nên ta có \({{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}^{2}}\ge 16\) hay \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\ge 4\)(*)

Với 2 bộ số \((1,1,1)\)và \(\left( {{x}^{2}},{{y}^{2}},{{z}^{2}} \right)\)ta có: \({{\left( 1.{{x}^{2}}+1.{{y}^{2}}+1.{{z}^{2}} \right)}^{2}}\le \left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left( {{x}^{4}}+{{y}^{4}}+{{z}^{4}} \right)\)

Suy ra: \({{x}^{4}}+{{y}^{4}}+{{z}^{4}}\ge \frac{{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}^{2}}}{3}\)

Từ (*), suy ra \({{x}^{4}}+{{y}^{4}}+{{z}^{4}}\ge \frac{16}{3}\)

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10