Biết \(I=\int\limits_{\ln 3}^{\ln 8}{\frac{{{e}^{x}}-1}{\sqrt{{{e}^{x}}+1}}dx}=a-\ln \frac{b}{2}\) với a, b là

Câu hỏi số 233217:

Vận dụng

Biết \(I=\int\limits_{\ln 3}^{\ln 8}{\frac{{{e}^{x}}-1}{\sqrt{{{e}^{x}}+1}}dx}=a-\ln \frac{b}{2}\) với a, b là các số nguyên dương. Tính giá trị của a + b.

A. 6

B. 7

C. 5

D. 8

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:233217

Phương pháp giải

Đặt \(t=\sqrt{{{e}^{x}}+1}\)

Giải chi tiết

Đặt \(t=\sqrt{{{e}^{x}}+1}\Leftrightarrow {{t}^{2}}={{e}^{x}}+1\Leftrightarrow 2tdt={{e}^{x}}dx=\left( {{t}^{2}}-1 \right)dx\Leftrightarrow dx=\frac{2t}{{{t}^{2}}-1}dt\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \ln 3 \Leftrightarrow t = 2\\x = \ln 8 \Leftrightarrow t = 3\end{array} \right.\), khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_2^3 {\frac{{{t^2} - 1 - 1}}{t}\frac{{2t}}{{{t^2} - 1}}dt} = 2\int\limits_2^3 {\frac{{{t^2} - 2}}{{{t^2} - 1}}dt} = 2\int\limits_2^3 {\left( {1 - \frac{1}{{\left( {t - 1} \right)\left( {t + 1} \right)}}} \right)dt} \\ = 2\int\limits_2^3 {\left( {1 + \frac{1}{2}\frac{{t - 1 - \left( {t + 1} \right)}}{{\left( {t - 1} \right)\left( {t + 1} \right)}}} \right)dt} = 2\int\limits_2^3 {\left( {1 + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{t + 1}} - \frac{1}{{t - 1}}} \right)} \right)dt} \\ = \left. {\left( {2x + \ln \left( {t + 1} \right) - \ln \left( {t - 1} \right)} \right)} \right|_2^3\\ = 6 + \ln 4 - \ln 2 - 4 - \ln 3 = 2 - \ln \frac{3}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow a + b = 5\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.