Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AB = 2a, AD = DC = a. Hai mặt

Câu hỏi số 235281:

Vận dụng cao

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AB = 2a, AD = DC = a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa SC và mặt đáy bằng \({{60}^{0}}\). Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AC và SB.

\(d=\frac{a\sqrt{6}}{2}.\)

d = 2a

\(d=a\sqrt{2}.\)

D. \(d=\frac{2a\sqrt{15}}{5}.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:235281

Phương pháp giải

Dựa vào phương pháp xác định mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia đưa về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Giải chi tiết

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {ABCD} \right)\)

Xác định \({{60}^{0}}=\widehat{\left( SC;\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{\left( SC;AC \right)}=\widehat{SCA}\) và

\(SA=AC.\tan \widehat{SCA}=\sqrt{A{{D}^{2}}+C{{D}^{2}}}.\tan 60=a\sqrt{2}.\sqrt{3}=a\sqrt{6}\).

Gọi M là trung điểm AB, suy ra ADCM là hình vuông nên CM = AD = a.

Xét tam giác ACB, ta có trung tuyến \(CM=a=\frac{1}{2}AB\) nên tam giác ACB vuông tại C.

Lấy điểm E sao cho ACBE là hình chữ nhật, suy ra \(AC\parallel BE\).

Do đó \(d\left( AC;SB \right)=d\left( AC;\left( SBE \right) \right)=d\left( A;\left( SBE \right) \right)\).

Kẻ \(AK\bot SE\,\,\,\left( 1 \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BE \bot AE\\BE \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BE \bot \left( {SAE} \right) \Rightarrow BE \bot AK\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AK\bot \left( SBE \right)\)

Khi đó \(d\left( A,\left( SBE \right) \right)=AK=\frac{SA.AE}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{E}^{2}}}}\).

Ta có: \(AE=BC=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}\Rightarrow AK=\frac{a\sqrt{6}.a\sqrt{2}}{\sqrt{6{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}\)

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.