Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số \(m\) để hàm số \(y={{x}^{3}}+mx-\frac{1}{5{{x}^{5}}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( 0;+\infty \right)\) ?

Câu 235680: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số \(m\) để hàm số \(y={{x}^{3}}+mx-\frac{1}{5{{x}^{5}}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( 0;+\infty \right)\) ?

A. 5

B. 3

C. 0

D. 4

Câu hỏi : 235680

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Để hàm số đồng biến trên \(\left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow y' \geq 0\,\,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\), cô lập m, đưa bất đẳng thức về dạng

Đáp án : D
(2) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\(y={{x}^{3}}+mx-\frac{1}{5{{x}^{5}}}\)

Ta có:

\(\begin{align} & y'=3{{x}^{2}}+m-\frac{1}{5}.\left( -5{{x}^{-6}} \right)=3{{x}^{2}}+m+\frac{1}{{{x}^{6}}}\geq 0\,\,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow -m \leq3 {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{6}}}=f\left( x \right)\,\,\forall x\in \left( 0;+\infty \right) \\ & \Rightarrow -m\leq \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right) \\ & f\left( x \right)=3{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{6}}}={{x}^{2}}+{{x}^{2}}+{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{6}}}\ge 4\sqrt[4]{1}=4\Rightarrow \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=4 \\ & \Leftrightarrow -m\leq 4\Leftrightarrow m \geq -4 \\ \end{align}\)

Mà m là số nguyên âm \(\Rightarrow m\in \left\{-4; -3;-2;-1 \right\}.\)

Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.