Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Hình chiếu vuông góc
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Hình chiếu vuông góc của điểm A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm I của cạnh AC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC biết \(A'I=\frac{3a}{4}\).
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Sử dụng các phương pháp xác định góc – khoảng cách trong không gian
Gọi I là trung điểm của \(AC\,\,\Rightarrow A'I\bot \left( ABC \right)\).
Gọi d là đường thẳng đi qua A và song song với BC.
Qua I kẻ IH vuông góc với d tại H.
Ta có \(AH\parallel BC,\,\,AA'\parallel BB'\Rightarrow \left( A'AH \right)\parallel \left( BCC'B' \right)\).
\(\Rightarrow d\left( AA';BC \right)=d\left( C;\left( A'AH \right) \right)=2.d\left( I;\left( A'AH \right) \right)\).
Qua I kẻ IK vuông góc với A’H tại K, ta có
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AH \bot IH\\AH \bot A'I\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {A'HI} \right) \Rightarrow AH \bot IK\\\left\{ \begin{array}{l}IK \bot AH\\IK \bot A'H\end{array} \right. \Rightarrow IK \bot \left( {AA'H} \right) \Rightarrow d\left( {I;\left( {A'AH} \right)} \right) = IK\end{array}\)
Tam giác \(A'HI\) vuông tại \(I\,\,\Rightarrow IK=\frac{A'I.IH}{\sqrt{A'{{I}^{2}}+I{{H}^{2}}}}\)
Dễ thấy \(\Delta AHI\backsim \Delta CAB\,\,\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{HI}{AB}=\frac{AI}{BC}\Rightarrow HI=\frac{a.\frac{a\sqrt{3}}{2}}{2a}=\frac{\sqrt{3}a}{4}\)
\(\Rightarrow IK=\frac{\frac{3a}{4}.\frac{a\sqrt{3}}{4}}{\sqrt{{{\left( \frac{3a}{4} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{4} \right)}^{2}}}}=\frac{3a}{8}\Rightarrow d\left( AA';BC \right)=\frac{3a}{4}.\)
Chọn C.
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
