Cho hàm số \(y=f(x)=2018\ln \left( {{e}^{\frac{x}{2018}}}+\sqrt{e} \right)\). Tính giá trị biểu thức

Câu hỏi số 236515:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y=f(x)=2018\ln \left( {{e}^{\frac{x}{2018}}}+\sqrt{e} \right)\).

Tính giá trị biểu thức \(T=f'(1)+f'(2)+...+f'(2017)\).

A. \(T=\frac{2019}{2}\).

B. \(T=1009\).

C. \(T=\frac{2017}{2}\).

D. \(T=2018\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:236515

Phương pháp giải

- Tính \(f'\left( x \right)\) và giá trị \(f'\left( x \right)+f'\left( 2018-x \right)\).

- Thay vào biểu thức đã cho để tính giá trị biểu thức \(T\).

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}y = f(x) = 2018\ln \left( {{e^{\frac{x}{{2018}}}} + \sqrt e } \right) \Rightarrow f'(x) = 2018.\frac{{\left( {{e^{\frac{x}{{2018}}}} + \sqrt e } \right)'}}{{{e^{\frac{x}{{2018}}}} + \sqrt e }} = 2018.\frac{{\frac{{{e^{\frac{x}{{2018}}}}}}{{2018}}}}{{{e^{\frac{x}{{2018}}}} + \sqrt e }} = \frac{{{e^{\frac{x}{{2018}}}}}}{{{e^{\frac{x}{{2018}}}} + \sqrt e }}\\f'(2018 - x) = \frac{{{e^{\frac{{2018 - x}}{{2018}}}}}}{{{e^{\frac{{2018 - x}}{{2018}}}} + \sqrt e }} = \frac{{\frac{e}{{{e^{\frac{x}{{2018}}}}}}}}{{\frac{e}{{{e^{\frac{x}{{2018}}}}}} + \sqrt e }} = \frac{e}{{e + \sqrt e .{e^{\frac{x}{{2018}}}}}} = \frac{{\sqrt e }}{{\sqrt e + {e^{\frac{x}{{2018}}}}}}\\ \Rightarrow f'(x) + f'(2018 - x) = \frac{{{e^{\frac{x}{{2018}}}}}}{{{e^{\frac{x}{{2018}}}} + \sqrt e }} + \frac{{\sqrt e }}{{\sqrt e + {e^{\frac{x}{{2018}}}}}} = 1\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}T = f'(1) + f'(2) + ... + f'(2017)\\ = \left[ {f'(1) + f'(2017)} \right] + \left[ {f'(2) + f'(2016)} \right] + ... + \left[ {f'(1008) + f'(1010)} \right] + f'(1009)\\ = \underbrace {1 + 1 + ... + 1}_{1008} + \frac{{{e^{\frac{{1009}}{{2018}}}}}}{{{e^{\frac{{1009}}{{2018}}}} + \sqrt e }} = 1008.1 + \frac{{\sqrt e }}{{\sqrt e + \sqrt e }} = 1008 + \frac{1}{2} = \frac{{2017}}{2}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.