Trong mặt phẳng (P) cho tam giác OAB cân tại O, \(OA=OB=2a,\,\,\widehat{AOB}={{120}^{0}}.\) Trên đường
Trong mặt phẳng (P) cho tam giác OAB cân tại O, \(OA=OB=2a,\,\,\widehat{AOB}={{120}^{0}}.\) Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại O lấy hai điểm C, D nằm về hai phía của mặt phẳng (P) sao cho tam giác ABC vuông tại C và tam giác ABD đều. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
\(A{{B}^{2}}=2O{{A}^{2}}-2O{{A}^{2}}\cos {{120}^{0}}=2.{{\left( 2a \right)}^{2}}+2.{{\left( 2a \right)}^{2}}.\frac{1}{2}=12{{a}^{2}}\)
\(\Rightarrow AB=2a\sqrt{3}\)
Vì tam giác \(DAB\) đều nên \(DA=DB=AB=2a\sqrt{3}\)
\(OD=\sqrt{B{{D}^{2}}-O{{B}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2a\sqrt{3} \right)}^{2}}-{{\left( 2a \right)}^{2}}}=2a\sqrt{2}\)
Vì \(\Delta CAB\) vuông cân nên \(2C{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}=12{{a}^{2}}\Rightarrow C{{B}^{2}}=6{{a}^{2}}\)
\(\Rightarrow OC=\sqrt{C{{B}^{2}}-O{{B}^{2}}}=\sqrt{6{{a}^{2}}-4{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}\)
Gọi \(E\) là trung điểm của \(CD.\) Vẽ tam giác \(EPQ\) có các cạnh lần lượt song song với các cạnh của \(\Delta OAB.\) Vẽ đường thẳng qua \(M\) song song với \(CD\) và giao với tại I. Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD.\)
Ta có: \(DE=\frac{CD}{2}=\frac{CO+OD}{2}=\frac{a\sqrt{2}+2a\sqrt{2}}{2}=\frac{3a\sqrt{2}}{2}\)
\(\frac{EQ}{OB}=\frac{DE}{DO}=\frac{\frac{3a\sqrt{2}}{2}}{2a\sqrt{2}}=\frac{3}{4}\Rightarrow \frac{PQ}{AB}=\frac{3}{4}\Rightarrow \frac{DS}{DM}=\frac{3}{4}\Rightarrow \frac{SM}{SD}=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow MI=\frac{1}{3}ED=\frac{1}{3}.\frac{3a\sqrt{2}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2};AI=\sqrt{A{{M}^{2}}+M{{I}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2a\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=\frac{5a}{\sqrt{2}}.\)
Chọn C.
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
