Trong mặt phẳng (P) cho tam giác OAB cân tại O, \(OA=OB=2a,\,\,\widehat{AOB}={{120}^{0}}.\) Trên đường

Câu hỏi số 237748:

Vận dụng cao

Trong mặt phẳng (P) cho tam giác OAB cân tại O, \(OA=OB=2a,\,\,\widehat{AOB}={{120}^{0}}.\) Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại O lấy hai điểm C, D nằm về hai phía của mặt phẳng (P) sao cho tam giác ABC vuông tại C và tam giác ABD đều. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

A. \(\frac{3a\sqrt{2}}{2}\)

B. \(\frac{a\sqrt{2}}{3}\)

C. \(\frac{5a\sqrt{2}}{2}\)

D. \(\frac{5a\sqrt{2}}{3}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:237748

Phương pháp giải

\(A{{B}^{2}}=2O{{A}^{2}}-2O{{A}^{2}}\cos {{120}^{0}}=2.{{\left( 2a \right)}^{2}}+2.{{\left( 2a \right)}^{2}}.\frac{1}{2}=12{{a}^{2}}\)

Giải chi tiết

\(\Rightarrow AB=2a\sqrt{3}\)

Vì tam giác \(DAB\) đều nên \(DA=DB=AB=2a\sqrt{3}\)

\(OD=\sqrt{B{{D}^{2}}-O{{B}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2a\sqrt{3} \right)}^{2}}-{{\left( 2a \right)}^{2}}}=2a\sqrt{2}\)

Vì \(\Delta CAB\) vuông cân nên \(2C{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}=12{{a}^{2}}\Rightarrow C{{B}^{2}}=6{{a}^{2}}\)

\(\Rightarrow OC=\sqrt{C{{B}^{2}}-O{{B}^{2}}}=\sqrt{6{{a}^{2}}-4{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}\)

Gọi \(E\) là trung điểm của \(CD.\) Vẽ tam giác \(EPQ\) có các cạnh lần lượt song song với các cạnh của \(\Delta OAB.\) Vẽ đường thẳng qua \(M\) song song với \(CD\) và giao với tại I. Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD.\)

Ta có: \(DE=\frac{CD}{2}=\frac{CO+OD}{2}=\frac{a\sqrt{2}+2a\sqrt{2}}{2}=\frac{3a\sqrt{2}}{2}\)

\(\frac{EQ}{OB}=\frac{DE}{DO}=\frac{\frac{3a\sqrt{2}}{2}}{2a\sqrt{2}}=\frac{3}{4}\Rightarrow \frac{PQ}{AB}=\frac{3}{4}\Rightarrow \frac{DS}{DM}=\frac{3}{4}\Rightarrow \frac{SM}{SD}=\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow MI=\frac{1}{3}ED=\frac{1}{3}.\frac{3a\sqrt{2}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2};AI=\sqrt{A{{M}^{2}}+M{{I}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2a\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=\frac{5a}{\sqrt{2}}.\)

Chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.