Biết đường thẳng \(y=\left( 3m-1 \right)x+6m+3\) cắt đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1\)

Câu hỏi số 237780:

Vận dụng

Biết đường thẳng \(y=\left( 3m-1 \right)x+6m+3\) cắt đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1\) tại 3 điểm phân biệt sao cho một giao điểm cách đều hai giao điểm còn lại. Khi đó m thuộc khoảng nào dưới đây?

A. \(\left( -1;\ 0 \right)\)

B. \(\left( \frac{3}{2};\ 2 \right)\)

C. \(\left( 0;\ 1 \right)\)

D. \(\left( 1;\ \frac{3}{2} \right)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:237780

Phương pháp giải

Viết phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và đồ thị hàm số. Sau đó tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Giải chi tiết

PT hoành độ giao điểm là \(\left( 3m-1 \right)x+6m+3={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-\left( 3m-1 \right)x-6m-2=0\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right).\)

Giả sử \(A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),\,\,B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\) và \(C\left( {{x}_{3}};{{y}_{3}} \right)\) lần lượt là giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(\left( d \right).\)

Vì \(B\) cách đều hai điểm \(A,\,\,C\)\(\Rightarrow \) \(B\) là trung điểm của \(AC\Rightarrow \,\,{{x}_{1}}+{{x}_{3}}=2{{x}_{2}}.\)

Mà theo định lí Viet cho phương trình \(\left( * \right),\) ta được \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=3\,\,\xrightarrow{{}}\,\,3{{x}_{2}}=3\Rightarrow {{x}_{2}}=1.\)

Thay \({{x}_{2}}=1\) vào \(\left( * \right),\) ta có \({{1}^{3}}-{{3.1}^{2}}-\left( 3m-1 \right)-6m-2=0\Leftrightarrow -\,9m-3=0\Leftrightarrow m=-\frac{1}{3}.\)

Thử lại, với \(m = - \frac{1}{3}\) \( \Leftrightarrow \,\,{x^3} - 3{x^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = 2\end{array} \right.\) (TM). Vậy \(m = - \frac{1}{3}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.