Giả sử một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {{{x^2}} \over {\sqrt {1 - {x^3}} }} + {1 \over

Câu hỏi số 238366:

Vận dụng cao

Giả sử một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {{{x^2}} \over {\sqrt {1 - {x^3}} }} + {1 \over {\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}\) có dạng \(A\sqrt {1 - {x^3}} + {B \over {1 + \sqrt x }}\). Hãy tính A + B.

A. \(A + B = - 2\)

B. \(A + B = {8 \over 3}\)

C. \(A + B = 2\)

D. \(A + B = - {8 \over 3}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:238366

Phương pháp giải

\(\int\limits_{}^{} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{}^{} {{{{x^2}} \over {\sqrt {1 - {x^3}} }}dx} + \int\limits_{}^{} {{1 \over {\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}dx} = {I_1} + {I_2}\)

Với I₁ đặt \(t = \sqrt {1 - {x^3}} \), I₂ đặt \(t = 1 + \sqrt x \)

Giải chi tiết

Xét \({I_1} = \int\limits_{}^{} {{{{x^2}} \over {\sqrt {1 - {x^3}} }}dx} \). Đặt \(t = \sqrt {1 - {x^3}} \Leftrightarrow {t^2} = 1 - {x^3} \Leftrightarrow 2tdt = - 3{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx = - {2 \over 3}tdt\)

\( \Rightarrow {I_1} = \int\limits_{}^{} {{{ - {2 \over 3}tdt} \over t}} = {{ - 2} \over 3}t + C = - {2 \over 3}\sqrt {1 - {x^3}} + C\)

Xét \({I_2} = \int\limits_{}^{} {{1 \over {\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}dx} \), đặt \(t = 1 + \sqrt x \Rightarrow dt = {1 \over {2\sqrt x }}dx \Rightarrow {{dx} \over {\sqrt x }} = 2dt\)

\(\eqalign{ & \Rightarrow {I_2} = \int\limits_{}^{} {{{2dt} \over {{t^2}}}} = - {2 \over t} + C = - {2 \over {1 + \sqrt x }} + C \cr & \Rightarrow I = - {2 \over 3}\sqrt {1 - {x^3}} - {2 \over {1 + \sqrt x }} + C \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ A = - {2 \over 3} \hfill \cr B = - 2 \hfill \cr} \right. \Rightarrow A + B = - {8 \over 3} \cr} \).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.