Có bao nhiêu số nguyên m đề phương trình \(3{{\sin }^{4}}x+m{{\cos }^{2}}x+2=0\) có nghiệm thuộc

Câu hỏi số 238840:

Vận dụng

Có bao nhiêu số nguyên m đề phương trình \(3{{\sin }^{4}}x+m{{\cos }^{2}}x+2=0\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ 0;\frac{\pi }{6} \right]\) ?

A. 2

B. 0

C. 3

D. 1

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:238840

Phương pháp giải

+) Đặt \(t={{\sin }^{2}}x\) , tìm chính xác khoảng giá trị của t.

+) Cô lập m, đưa phương trình về dạng \(f\left( t \right)=m\), tìm điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện của t.

Giải chi tiết

\(3{{\sin }^{4}}x+m{{\cos }^{2}}x+2=0\Leftrightarrow 3{{\sin }^{4}}x+m\left( 1-{{\sin }^{2}}x \right)+2=0\Leftrightarrow 3{{\sin }^{4}}x-m{{\sin }^{2}}x+m+2=0\)

Đặt \(t={{\sin }^{2}}x\,\,\left( t\in \left[ 0;\frac{1}{4} \right] \right)\), khi đó phương trình trở thành: \(3{{t}^{2}}-mt+m+2=0\,\,\left( * \right)\)

Để phương trình ban đầu có nghiệm thuộc \(\left[ 0;\frac{\pi }{6} \right]\) thì phương trình (*) có nghiệm thuộc \(\left[ 0;\frac{1}{4} \right]\)

\(\left( * \right)\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}+2=m\left( t-1 \right)\), với t = 1, phương trình do nghiệm, do đó \(t\ne 1\Rightarrow m=\frac{3{{t}^{2}}+2}{t-1}=f\left( t \right)\)

Có: \(f'\left( t \right)=\frac{6t\left( t-1 \right)-3{{t}^{2}}-2}{{{\left( t-1 \right)}^{2}}}=\frac{3{{t}^{2}}-6t-2}{{{\left( t-1 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} t=\frac{3+\sqrt{15}}{3}\notin \left[ 0;\frac{1}{4} \right] \\ t=\frac{3-\sqrt{15}}{3}\notin \left[ 0;\frac{1}{4} \right] \\ \end{align} \right.\)

Ta có: \(\left[ 0;\frac{1}{4} \right]\subset \left[ \frac{3-\sqrt{15}}{3};\frac{3+\sqrt{15}}{3} \right]\Rightarrow f'\left( t \right)<0\,\,\forall t\in \left[ 0;\frac{1}{4} \right]\Rightarrow \) Hàm số nghịch biến trên \(\left[ 0;\frac{1}{4} \right]\) .

\(f\left( 0 \right)=-2;f\left( \frac{1}{4} \right)=-\frac{35}{12}\Rightarrow \) Để phương trình có nghiệm thuộc [0;1] thì \(-\frac{35}{12}\le m\le -2\) Mà \(m\in Z\Rightarrow m=-2\)

Vậy có 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.