Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AB=\sqrt{3},\,\,AD=\sqrt{6},\) tam giác \(SAC\) nhọn và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết hai mặt phẳng \(\left( SAB \right),\,\,\left( SAC \right)\) tạo với nhau góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\tan \alpha =\frac{3}{2}\) và cạnh \(SC=3.\) Tính thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) là
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng, tìm các yếu tố liên quan đến chiều cao của khối chóp suy ra thể tích khối chóp
Kẻ \(BH\bot AC\,\,\,\left( H\in AC \right),\,\,\,HI\bot SA\,\,\,\left( I\in SA \right)\)
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AC\\\left( {ABCD} \right) \supset BH \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow BH \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BH \bot SA\\ \Rightarrow SA \bot \left( {BHI} \right) \Rightarrow SA \bot BI\end{array}\)
Suy ra \(\widehat{\left( \left( SAB \right);\left( SAC \right) \right)}=\widehat{\left( BI;HI \right)}=\widehat{BIH}\Rightarrow \tan \widehat{BIH}=\frac{3}{2}.\)
Xét tam giác vuông ABC có \(BH=\frac{BA.BC}{\sqrt{B{{A}^{2}}+B{{C}^{2}}}}=\frac{\sqrt{3}.\sqrt{6}}{\sqrt{3+6}}=\sqrt{2}\)
Tam giác \(BIH\) vuông tại \(H,\) có
\(\tan \widehat{BIH}=\frac{BH}{IH}\Rightarrow IH=\frac{BH}{\tan \widehat{BIH}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.\)
Xét tam giác ABC có : \(AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=3=SC\)
Gọi \(K\) là trung điểm của \(SA,\,\,\Delta \,SAC\) cân tại \(C\Rightarrow CK\bot SA.\)
Suy ra
\(IH\)//\(CK\)\(\Rightarrow \,\,\frac{AH}{AC}=\frac{IH}{CK}=\frac{A{{B}^{2}}}{A{{C}^{2}}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\Rightarrow CK=3\,IH=3.\frac{2\sqrt{2}}{3}=2\sqrt{2}.\)
\(\Rightarrow AK=\sqrt{A{{C}^{2}}-C{{K}^{2}}}=\sqrt{9-8}=1\Rightarrow SA=2AK=2\)
Mặt khác \({{S}_{\Delta \,SAC}}=\frac{1}{2}.CK.SA=\frac{1}{2}.2\sqrt{2}.2=2\sqrt{2}=\frac{1}{2}d\left( S;\left( AC \right) \right).AC\Rightarrow d\left( S;\left( AC \right) \right)=\frac{2\sqrt{2}.2}{3}=\frac{4\sqrt{2}}{3}.\)
Vậy thể tích cần tính là \({{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.d\left( S;\left( AC \right) \right).{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}.\frac{4\sqrt{2}}{3}.3\sqrt{2}=\frac{8}{3}.\)
Chọn A.
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
