Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có \(AB=2\sqrt{3}\) và \(A{A}'=2.\) Gọi

Câu hỏi số 239255:

Vận dụng cao

Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có \(AB=2\sqrt{3}\) và \(A{A}'=2.\) Gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \({A}'{B}',\,\,{A}'{C}'\) và \(BC.\) Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( A{B}'{C}' \right)\) và \(\left( MNP \right)\) bằng

\(\frac{6\sqrt{13}}{65}.\)

\(\frac{\sqrt{13}}{65}.\)

\(\frac{17\sqrt{13}}{65}.\)

D. \(\frac{18\sqrt{63}}{65}.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:239255

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng, tuy nhiên không sử dụng cách dựng hình truyền thống mà thông qua tính chất góc

Giải chi tiết

Dễ thấy \(\widehat{\left( \left( A{B}'{C}' \right);\left( MNP \right) \right)}=\widehat{\left( \left( A{B}'{C}' \right);\left( MNCB \right) \right)}\)

\(\begin{array}{l} = {180^0} - \widehat {\left( {\left( {AB'C'} \right);\left( {A'B'C'} \right)} \right)} - \widehat {\left( {\left( {MNBC} \right);\left( {A'B'C'} \right)} \right)}\\ = {180^0} - \widehat {\left( {\left( {A'BC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} - \widehat {\left( {\left( {MNBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)}.\end{array}\)

Ta có \(\widehat{\left( \left( {A}'BC \right);\left( ABC \right) \right)}=\widehat{\left( {A}'P;AP \right)}=\widehat{{A}'PA}=\arctan \frac{2}{3}.\)

Và \(\widehat{\left( \left( MNBC \right);\left( ABC \right) \right)}=\widehat{\left( SP;AP \right)}=\widehat{SPA}=\arctan \frac{4}{3},\) với \(S\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \({A}',\) thì \(SA=2\,A{A}'=4.\)

Suy ra \(\cos \widehat{\left( A{B}'{C}' \right);\left( MNP \right)}=\left| \cos \left( {{180}^{0}}-\arctan \frac{2}{3}-\arctan \frac{4}{3} \right) \right|=\frac{\sqrt{13}}{65}.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.